生產集的閉包屬性的聚合
考慮一個具有有限商品[I數學處理誤差]和因子[F數學處理誤差]的經濟體。對於每個好的[i數學處理錯誤]，讓 $ I $ $ F $ $ i $ $ Y_i \subset \mathbb R^I \times \mathbb R^F_{\geq 0} $ 表示[i數學處理錯誤]的生產集。假設每個[Yi數學處理錯誤]具有恆定的規模收益，並且對於所有 $ i $ $ Y_i $ $ (y,l)\in Y_i $ , $ y_{j \neq i} \leq 0 $ . 最後，表示為[數學處理錯誤] $ Y \equiv { (\sum_{i \in I}y^i,\sum_{i \in I}l^i) \ | \ \forall i \in I, (y^i,l^i) \in Y_i} $ 規範的聚合生產集。
GE 理論中通常假設 $ Y $ 已經關閉。
是否知道集合的條件 $ Y_i $ 保證這個？
要看到僅僅假設每個是不夠的 $ Y_i $ 是封閉的，考慮下面的反例：有兩種商品和一種因素。給定一單位勞動，每個企業可以生產 $ n + \frac{n}{n+1} $ 每輸出單位 $ n $ 使用的其他商品的投入。通過將限製作為 $ n\to \infty $ 對於每家公司，人們可能會看到 $ Y $ 包含 $ (y,l) = ((1,1),2) $
更抽像地做這件事，讓[Math Processing Error] $ Y_j\subseteq\mathbb{R}^n $ 成為一個生產集 $ j=1,\ldots,m $ 然後讓
[Math Processing Error]$$ Y=Y_1+Y_2+\cdots+Y_N={y_1+y_2+\cdots+y_n|y_j\in Y_j, j=1,\ldots,m} $$ 是總生產集。聚合生產集何時關閉的標準結果如下： **定理：**讓[Math Processing Error] $ Y_j $ 是閉集和凸集包含 $ 0 $ 為了 $ j=1,\ldots,m $ 並假設 $ Y\cap -Y={0} $ . 然後 $ Y $ 已經關閉。
現在，這個結果在總生產集上使用了一個假設（不可逆性和不作為的可能性），但這是從 $ 0 $ 在每個生產集中，輸入和輸出商品在您的環境中是分開的。假設 $ 0 $ 不需要在每個單獨的生產集中，但是沒有它，證明會變得更加混亂（儘管沒有根本的不同）。
tdm 的答案通過漸近錐向您指出了一個證明。這是一個更直接的論點：
證明： 讓 $ (y_m)\to y $ 是一個收斂序列 $ Y $ . 對於每一個 $ m $ ， 讓 $ (y^1_m,\ldots,y^n_m)\in Y_1\times\ldots\times Y_n $ 是這樣的 $ y_m=\sum_{j=1}^n y^j_m $ . 如果這個序列是有界的，緊緻性參數保證 $ y\in Y $ . 我們證明該序列必須是有界的。假設不是。Wlog，假設這個序列中沒有一個項是零，並且這些項的範數是增加的並且是無界的。定義一個序列 $ (x^1_m,\ldots,x^n_m) $ 經過[Math Processing Error] $ x^j_m=y^j_m/|(y^1_m,\ldots,y^n_m)| $ . 該序列有一個收斂的子序列 $ (z^1_m,\ldots,z^n_m)\to(z^1,\ldots,z^n) $ 因為它位於緊緻的單位球體中，並且 $ (z_1,\ldots,z^n)\in Y_1,\ldots, Y_n $ 因為每個 $ Y_j $ 是凸的並且包含 $ 0 $ . 還， $ |(z^1,\ldots,z^n)|=1 $ ，所以至少一個座標必須是非零的。部落格讓 $ z^1\neq 0 $ . 我們有
[Math Processing Error]$$ \sum_{j=1}^n z^j=\lim_{m\to\infty} \frac{y_m}{|(y_m^1,\ldots,y_m^n)||}=0 $$ 因為 $ |(y^1_m,\ldots,y^n_m)| $ 是無界且收斂的序列 $ (y_m) $ 是有界的。所以 $ z^1-\sum_{j=2}^n z^j=0 $ ， 但 $ z_1\in Y $ 和 $ \sum_{j=2}^n z^j\in Y $ 因為每個 $ Y_j $ 包含[Math Processing Error] $ 0 $ , 所以這矛盾 $ Y\cap-Y={0} $ .
有關閉合集的總和條件的完整概述，請參閱Kim Border的註釋
衰退錐
我將使用[Math Processing Error] $ \mathbb{R}^n $ . 讓我們從一些定義開始。
定義：一組[Math Processing Error] $ C $ 是凸的，如果 $ x, y \in C $ 和 $ \alpha \in [0,1] $ , $ \alpha x + (1-\alpha) y \in C $ .
定義：一組[數學處理錯誤] $ K $ 是一個圓錐如果為 $ x \in K $ 和 $ \lambda \ge 0 $ , $ \lambda x \in K $ .
定義**：**衰退錐 $ 0^+C $ 一組的[Math Processing Error] $ C $ 定義為：
[Math Processing Error]$$ 0^+ C = {z \in \mathbb{R}^n| \forall x \in C, \forall \alpha \ge 0, x + \alpha z \in C}. $$
衰退錐背後的想法是它捕捉到所有方向的無限性[Math Processing Error] $ C $ . 例如，如果 $ (1,1) \in 0^+C $ 這意味著[數學處理錯誤] $ C $ 在方向上是無限的 $ (1,1) $ ： 對全部 $ x \in C $ 和所有 $ \alpha \ge 0 $ , $ x + \alpha\cdot (1,1) \in C $ .
這裡 $ x + \alpha(1,1) $ 是一條無限射線（半線），斜率為 1，從 $ x $ . 元素 $ (1,1) $ 在 $ 0^+C $ 要求所有這些半行（總體上 $ x \in C $ ) 在 $ C $ .
現在拿兩套 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 關閉。我們希望有這樣的條件 $ C_1 + C_2 $ 也關閉了。為了做到這一點，我們需要所有收斂序列 $ z_n \to z $ 在 $ C_1 + C_2 $ 我們可以找到一個收斂序列 $ x_n \to x $ 在[Math Processing Error] $ C_1 $ 和一個收斂序列 $ y_n \to y $ 在[Math Processing Error] $ C_2 $ 這樣 $ x_n + y_n = z_n $ .
檢查這種情況時可能會出錯的一件事是，儘管 $ z_n = x_n + y_n $ 收斂兩者[數學處理錯誤] $ x_n $ [yn數學處理錯誤]和 $ y_n $ 向相反的方向趨向無窮大，因此它們不會收斂。如果衰退錐體可能會發生這種情況 $ 0^+ C_1 $ 和 $ 0^+ C_2 $ 包含加起來為零的非零向量。
例如，如果 $ (1,1) \in O^+ C_1 $ 和 $ (-1, -1) \in 0^+ C_2 $ . 然後對於索姆 $ x \in C_1 $ 和 $ y \in C_2 $ 我們可以定義：
[數學處理錯誤]$$ z_n = \underset{x_n}{\underbrace{x + n(1,1)}} + \underset{y_n}{\underbrace{y + n(-1,-1)}} = x + y. $$ 這裡 $ z_n = x_n + y_n $ 儘管兩者都收斂 $ x_n \equiv x + n(1,1) $ 和 $ y_n \equiv y + n(-1,-1) $ 發散。 下面的定義抓住了這個想法。
定義：讓 $ K_1, \ldots, K_n $ 是錐體。我們說他們是積極半獨立的，如果對所有人 $ x_i \in K_i $
$$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0 \to x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 0. $$
下面的定理（我將跳過它的證明，參見Border的註釋）表明，對於閉凸集，衰退錐的正半獨立確實是一個充分條件。
讓_ $ C_1,\ldots, C_n $ 是一個封閉的非空凸集的集合。如果經濟衰退錐 $ 0^+C_1, 0^+ C_2, \ldots 0^+ C_n $ 那麼是正半獨立的 $ \sum_i C_i $ 已經關閉。
CRS 生產可能性集
讓我們回到這個問題。讓[數學處理錯誤] $ Y $ [Y數學處理錯誤]是規模報酬不變的生產函式的生產可能性集。CRS 相當於要求 $ Y $ 是一個圓錐。特別是：如果 $ y \in Y $ 和 $ \alpha \ge 0 $ 然後 $ \alpha y \in Y $ .
以下適用於凸錐：
**釷：**如果[數學處理錯誤] $ Y $ 是一個非空凸錐，那麼 $ 0^+ Y = Y $ .
證明為[數學處理錯誤] $ Y $ 是一個圓錐，我們有 $ 0 \in Y $ . 現在，讓 $ z \in 0^+ Y $ . 那麼對於所有人 $ x \in Y $ 和所有 $ \alpha \ge 0 $ : $ x + \alpha z \in Y $ . 環境 $ x = 0 $ 和 $ \alpha = 1 $ 給 $ z \in Y $ . 反過來，讓 $ z \in Y $ , $ \alpha \ge 0 $ 和 $ x \in Y $ . 作為[數學處理錯誤] $ Y $ 是一個圓錐，我們有 $ \alpha z \in Y $ ， 並作為[數學處理錯誤] $ Y $ 是一個凸錐，我們有 $ 2(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}\alpha z) = x + \alpha z \in Y $ . 作為 $ \alpha \ge 0 $ 和[數學處理錯誤] $ x $ 是任意的，這表明 $ z \in 0^+ Y $ .
然後我們有以下推論，其證明來自前兩個定理。
**更正：**讓 $ Y_1,\ldots, Y_n $ 是一組封閉的、凸的和 CRS 生產可能性集。如果 $ Y_1, \ldots, Y_n $ 是正半獨立的，那麼 $ Y = \sum_i Y_i $ 已經關閉。
對這個條件的解釋。假設我們只有兩個閉凸 CRS 生產可能性集 $ Y_1, Y_2 $ 並假設它們不是正半獨立的。這意味著我們可以找到 $ x \in Y_1 $ 和 $ y \in Y_2 $ 這樣 $ x \ne 0 $ 和
$$ x + y = 0. $$ 這意味著 $ x \in Y_1 $ 和 $ y = -x = Y_2 $ . 換句話說，我們可以使用第一種技術來生產 [數學處理錯誤] $ x $ 然後，反過來，第二個生產技術 $ -x $ . 直覺地說，這對應於可逆技術。例如，您使用勞動、木材和釘子來製作一張桌子（[Math Processing Error] $ x $ ) 然後，您可以使用此表作為輸入來恢復原始輸入（勞動力、木材和釘子）（ $ -x $ ）。在物理學中，這被稱為永動機（它違反了熱力學第一或第二定律）。因此，如果考慮到所有輸入，封閉的、凸的、CRS 生產可能性集確實應該是正半獨立的，並且它們的總和應該是封閉的。