供給增加時替代品的價格差異？
在競爭市場中，有 3 種商品：X、Y 和貨幣（m）。X 和 Y 是替代品，效用函式關於貨幣是準線性的，即：
$$ U(x,y,m) = u(x,y) + m $$ X 和 Y 的供給是外生決定的，價格 $ p_x $ 和 $ p_y $ 然後確定係統處於平衡狀態（即對 X 和 Y 的需求等於它們的供給）。
現在 X 的供給增加了，新的價格達到了新的均衡 $ p_x’ $ 和 $ p_y’ $ . 關於新價格，我們能說些什麼？
- 當然 $ p_x’<p_x $ ，因為我們必須有新的消費者購買新的 X 單位。
- 當然 $ p_y’\leq p_y $ ，因為 X 和 Y 是替代品（當 X 的價格下降時，對 Y 的需求會微弱下降，因此 Y 的價格也會微弱下降）。
- 我的主要問題是：價格差異會發生什麼 $ p_x-p_y $ ? 我做了一些軼事模擬，似乎 $ p_x’-p_y’\leq p_x-p_y $ . 即，即使 Y 的價格下降，X 的價格下降幅度也較弱。
這個觀察正確嗎？
當供應增加時，價格差異究竟會發生什麼變化？
舉一個簡單的例子，假設消費者 $ i $ 最大化
$$ U(x_i,y_i,I_i) = \alpha\ln x_i +(1-\alpha)\ln y_i + (\bar I_i-p_xx_i -p_yy_i)\ s.t. \bar I_i \geq p_xx_i +p_yy_i $$ 換句話說，它可能將他的所有收入都花在兩種商品上（但不會更多），或者他可能會為其他商品保留一些，這裡沒有建模。由於約束中的不等式，我們需要使用 Karush-Kuhn-Tucker 非負乘數，而不是通常的拉格朗日乘數。假設收入固定，拉格朗日函式為
$$ \Lambda = \alpha\ln x_i +(1-\alpha)\ln y_i + (\bar I_i-p_xx_i -p_yy_i) +\lambda_i(\bar I_i-p_xx_i -p_yy_i) $$ 假設收入是固定的，一階條件是
$$ \frac {\alpha}{x_i} - (1+\lambda_i)p_x \leq 0,;; \frac {1-\alpha}{y_i} - (1+\lambda_i)p_y \leq 0 $$ $$ \lambda(\bar I_i-p_xx_i -p_yy_i) = 0 ,; x_i\cdot \left(\frac {\alpha}{x_i} - (1+\lambda_i)p_x\right)=0, ; y_i\cdot \left(\frac {1-\alpha}{y_i} - (1+\lambda_i)p_y\right) =0 $$ 因此，在最優情況下，兩種商品的需求量都是正數，這反過來又要求將一階導數設置為零。這給了我們
$$ \frac {\alpha}{p_xx_i} = \frac {1-\alpha}{p_yy_i} \implies x_i^D=\frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_y}{p_x}y_i^D \tag{1} $$ 從中我們可以獲得支出的最佳關係 $ E_i $ 關於兩種商品
$$ E_i^* = \frac {1}{1+\lambda_i^} , ;; E_i^ \leq \bar I_i $$ 自從 $ \lambda_i \geq 0 \implies \max E_i^* \leq 1 $ 所以如果發生這種情況 $ \bar I_i >1 $ 那麼並不是所有的收入都會花在這兩種商品上，約束不會有約束力，所以 $ \lambda_i^* =0 $ . （是 $ \max E_i^* \leq 1 $ 一個奇怪的結果？）另一方面，如果 $ \bar I_i \leq 1 $ 那麼我們必然有 $ E_i^* = \bar I_i $ ， 和 $ \lambda_i^* = (1-\bar I_i)/\bar I_i $ .
無論哪種情況，最優關係 $ (1) $ 仍然有效。因此，假設消費者的偏好相同（不一定是收入），聚合 $ (1) $ 我們得到市場層面的關係
$$ X^D=\frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_y}{p_x}Y^D \tag {2} $$ 在均衡時，我們有 $ X^D = X^S,; Y^D = Y^S \tag{3} $ .
方程 $ (2) $ 和 $ (3) $ 持有任何供應。我們現在改變供應 $ X $ 但留下供應 $ Y $ 不變。通過索引初始情況 $ 0 $ 第二種情況是 $ 1 $ ，它們被描述為
$$ X^D_0=\frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y0}}{p_{x0}}Y^D_0,;;X^D_0 = X^S_0,;; Y^D_0 = Y^S_0 \tag {4} $$ $$ X^D_1=\frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y1}}{p_{x1}}Y^D_1,;;X^D_1 = X^S_1>X^S_0,;; Y^D_1 = Y^S_1= Y^S_0\tag {5} $$ 然後我們有
$$ X^D_1 - X^D_0 = \frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y1}}{p_{x1}}Y^D_1 - \frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y0}}{p_{x0}}Y^D_0 $$ 並使用各種關係
$$ \implies X^S_1 - X^S_0 = \frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y1}}{p_{x1}}Y^S_1 - \frac {\alpha}{1-\alpha}\frac {p_{y0}}{p_{x0}}Y^S_0 >0 $$ $$ \implies \frac {\alpha}{1-\alpha}Y^S_0\cdot \left[\frac {p_{y1}}{p_{x1}}-\frac {p_{y0}}{p_{x0}}\right] >0 $$ $$ \implies \frac {p_{y1}}{p_{x1}}-\frac {p_{y0}}{p_{x0}} >0 \implies \frac {p_{y1}}{p_{y0}}>\frac {p_{x1}}{p_{x0}} \tag{6} $$ $ (6) $ 告訴我們價格 $ Y $ ，如果它下跌，它的價格肯定會低於它的價格 $ X $ ，但按比例計算。
看來，在這個基準範例中，我們不能像 OP 所詢問的那樣， 就水平方面的價格變化發表任何意見。
如果兩個價格的水平非常不同，我們很容易得到較小的比例下降 $ p_y $ ，同時貨幣單位的跌幅更大。以設置為例 $ p_{y0} = 100, p_{x0} = 1 $ ，並假設價格為 $ Y $ 僅下降 $ 10 $ % 而價格 $ X $ 落在 $ 20 $ %.
反過來，價格水平也取決於兩種商品的供應量，在這裡被視為外生的。