競爭均衡中效用的唯一性
假設給幾個交易者一些初始的商品禀賦。然後，一個自由市場開放，他們進行交易，直到市場處於競爭平衡。每個交易者現在都有一個最終效用，該效用至少與他的初始效用一樣高。
我的問題：最終效用的向量是唯一的嗎？即，在相同的初始禀賦和相同的效用函式的情況下，是否有可能存在最終效用不同的兩種不同的均衡？
範例：假設有兩種商品和兩個交易者 Alice 和 Bob，具有相同的效用函式： $ u(x,y)=x+y $ . 初始禀賦是 $ (10,0) $ 對於愛麗絲和 $ (0,10) $ 對於鮑勃。在競爭均衡中，價格向量有 $ p_x=p_y $ . 有許多不同的均衡分配，例如： $ (10,0),(0,10) $ , $ (9,1),(1,9) $ 和 $ (5,5),(5,5) $ 都是均衡分配。但是，在所有這些分配中，兩個交易者的效用是相同的： $ (10,10) $ . 我想知道這種獨特性在什麼情況下會發生。
一個充分但也許不是必要的條件是，如果所有消費者的需求函式價格都在下降。（準確地說是價格比。）這將導致總需求價格下降，並且由於總供給是恆定的，因此只能有一個均衡價格。如果只有一個均衡價格，那麼對於每個消費者來說，只有一個效用最大化問題並且它有一個最大值。
表示為 $ \omega_m $ 善的最初禀賦 $ m $ . 讓 $ e $ 表示在給定價格的情況下從初始禀賦中獲得的收入，所以 $ e = p_x\cdot \omega_x + p_y\cdot \omega_y $ 那麼條件是
$$ \frac{d \ x(p_x,p_y,e)}{d \ p_x}
\frac{\partial x(p_x,p_y,e)}{\partial p_x} + \frac{\partial x(p_x,p_y,e)}{\partial e} \cdot \frac{d \ (p_x\cdot \omega_x + p_y\cdot \omega_y)}{d \ p_x} < 0 $$ 這看起來像斯盧茨基方程，所以可能有一些關於這意味著什麼的定理，但我不能輕易說出這對基礎效用函式的意義。最常見的例子（完美替代，Cobb-Douglas，擬線性）滿足這個條件。 編輯：我首先說完美補充效用函式總是滿足這個條件，但事實並非如此。