將核心寫入所有聯盟的帕累託有效結果的交集

我一直在審查一般均衡模型，並試圖找到一種計算合作博弈核心的有效方法。我以非常糟糕的方式教授了這個主題，所以我相信我仍然有一些概念上的錯誤。

這是我的一個想法：

假設我們處於一個有三個消費者的經濟體中， $ A $ , $ B $ ， 和 $ C $ , 具有效用 $ u_{i}(x) $ 在捆綁包上定義 $ x \in \mathbb{R}^{2} $ 和禀賦 $ \omega_{i} $ 為了 $ i = A, B ,C $ . 我想計算這個經濟體的核心。

我知道核心必須滿足：

$$ \begin{align} u_{A}(x_{A}) &\geq u_{A}(\omega_{A})\ u_{B}(x_{B}) &\geq u_{B}(\omega_{B})\ u_{C}(x_{C}) &\geq u_{C}(\omega_{C})\ \end{align} $$ 即核心必須是個體理性的。所以讓$$ D ={ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is individually rational for $A$, $B$ and $C$} } $$我也知道核心是帕累託有效結果的一個子集，所以讓$$ E ={ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is pareto efficient} } $$現在這是我不確定的部分：我知道核心也不會被任何兩人聯盟阻止。我認為這意味著任何核心分配對於任何兩人遊戲都是帕累託有效的。因此我定義： $$ \begin{align} F_{1} ={ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is pareto efficient in the cooperative game with only $A$ and $B$ } }\ F_{2} ={ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is pareto efficient in the cooperative game with only $A$ and $C$ } }\ F_{3} ={ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ is pareto efficient in the cooperative game with only $B$ and $C$ } } \end{align} $$ 以下是我的問題：

1. 上面的分析正確嗎？
2. 我可以寫一組核心分配嗎 $ \mathcal{C} $ 作為$$ \mathcal{C} = D \cap E \cap F_{1} \cap F_{2} \cap F_{3}\text{?} $$
3. 這種解決方法可以推廣到遊戲中嗎 $ n $ 球員和 $ m $ 商品？

讓我知道是否有任何不清楚的地方！

1. 您寫的大部分內容都是正確的，但是 $ F_i $ 集是不精確的。問題是在核心 $ A $ 和 $ B $ 可能會得到與其初始禀賦不符的商品。在這種情況下，核心分配是不正確的 $ x $ 在受限 2 人經濟中是帕累托效率的 $ A $ 和 $ B $ ， 因為 $ x $ 甚至不是那個遊戲中的分配。

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編輯：（一個例子）

考慮初始禀賦

$$ \omega_{A} = (1,1), \omega_{B} = (1,1), \omega_{C} = (2,2) $$ 和分配 $ x $ $$ x_A = (2,2), x_B = (2,2), x_C = (0,0). $$ $ A $ 和 $ B $ 不能帕累托改進 $ x $ . 但 $ x $ 在他們的 2 人經濟中不是帕累託有效分配，因為這不是他們經濟的可行分配： $$ x_A + x_B \neq \omega_{A} + \omega_{B} $$

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集合的更好定義 $ F_i $ 會是這樣的：

讓我們表示 2 人經濟的可行分配集 $ A $ 和 $ B $ 經過 $ Y_{A,B} \subset \mathbb{R}^{2} $ . 然後

$$ F_{1} ={ x \in \mathbb{R}^{2} : \nexists y \in Y_{A,B} \text{ such that } u_{A}(y_{A}) \geq u_{A}(x_{A}), u_{B}(y_{B}) > u_{B}(x_{B}) } $$ 案例仍然存在一些問題 $ A $ 更好，並且 $ B $ 情況並沒有更糟，但如果效用函式是連續的，那麼這不會造成問題。 你可以定義 $ F_{2} $ 和 $ F_{3} $ 以類似的方式。

備註： $ E $ 不是“特殊的”，而是三人聯盟無法改進的一組分配。這相當於帕累托效率。

2. 是的。為什麼不？這正是核心所在。
3. 我不會稱之為解決，因為通常你不會得到一個唯一的解決方案，在極端情況下你可能沒有解決方案。但是，是的，每個經濟體（ $ n $ 球員， $ m $ 商品）有一個核心，它是這樣定義的。（如前所述，除非滿足某些條件，否則核心可能是空的。競爭均衡始終是核心的一個元素，因此如果存在，則核心是非空的。）

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/9847