商品期貨的 delta 等於 1 嗎？
根據約翰赫爾的書，股票期貨 delta 不等於 1。對於商品期貨，既然沒有實物商品的中心化交易所，那麼商品期貨的delta等於1嗎？
在風險中性框架下，價格為 $ t $ , $ \text{Fut}(t,T,X) $ , 成熟的未來 $ T $ 寫在資產上 $ X $ 誰的價格過程是 $ (X_t)_{t \geq 0} $ 由其條件風險中性期望給出：
$$ \text{Fut}(t,T,X) = \mathbb{E}^{, \mathbb{Q}, }[X_T|\mathcal{F}t] $$ 有關此結果的更多詳細資訊，您可以參考Shreve的 Stochastic Calculus for Finance II：Continuous-Time Models。三角洲 $ \Delta{\text{Fut}} $ 未來的定義為：
$$ \Delta_{\text{Fut}} = \frac{\partial , \text{Fut}}{\partial X_t} $$ 現在，要獲得 delta 的特定表達式，通常需要有價格演變的模型 $ X_t $ . 鑑於您對商品感興趣，價格過程的合理模型 $ (X_t)_{t \geq 0} $ 是幾何布朗運動 (GBM)，因此在 $ \mathbb{Q} $ :
$$ \begin{align} dX_t= rX_tdt+\sigma X_tdW_t \end{align} $$ 價格 $ X_T $ 在 $ T $ 可以明確寫成：
$$ X_T = X_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma W_{T-t}} $$ 在哪裡 $ W_{T-t}\sim\mathcal{N}(0,T-t) $ 是一個高斯變數。 $ X_T $ 是對數正態的，它的期望在 $ \mathbb{Q} $ 是（誰）給的 $ X_te^{r(T-t)} $ 因此：
$$ \Delta_{\text{Fut}} = \frac{\partial , \text{Fut}}{\partial X_t} = \frac{\partial}{\partial X_t}\mathbb{E}^{, \mathbb{Q}, }[X_T|\mathcal{F}_t] = e^{r(T-t)} $$ 對於短期和/或低利率 $ r $ ， 我們有 $ e^{r(T-t)} \approx 1 $ .
在更定性的方面，正如評論中所說，delta 並不是嚴格意義上的，它會根據標的資產產生的成本和收益而略低或略高：事實上，期貨或遠期合約涉及未來傳遞基礎資產 $ X $ 以事先商定的價格，未來價格 $ \text{Fut}(t,T,X) $ 或遠期價格。基本上，為了對沖這個頭寸，您只需要今天購買資產並持有直到到期，然後您將其傳遞給您的客戶。擔任此職位有：
- 成本：您可能需要按一定的利率借錢 $ r $ 購買資產；對於商品，您可能需要支付儲存成本直到到期；等等
- 好處：標的資產可能會產生您應得的現金流，例如股票的股息。
所以實際上，未來的增量在概念上等於 $ 1 $ ，根據對沖頭寸的成本和收益進行調整：
$$ \Delta_{\text{Fut}} \approx 1+\text{Costs from holding the underlying}-\text{Benefits from holding the underlying} $$ 據我所知，合約是期貨還是遠期 $ - $ 即通過中心化交易所或雙邊交易 $ - $ 並沒有從根本上改變這一點 $ - $ 雖然它可以改變細節，即確切的成本和收益。
用定性的話來說：
如果期限不太長，我會將商品期貨視為 delta one wrt 現貨。在相當短的期貨的情況下，這可以被視為基差風險。
對於長期而言，您也存在期限結構風險，我不會將其建模/視為現貨市場的線性風險。