對偶證明——消費者理論
為了解決這個問題，應該使用哪些假設/公理，拉格朗日乘數應該相等還是不同？
考慮一個具有效用函式 u() 和財富 w 的代理。假設 u() 是連續的並且表示局部未滿足的偏好關係。該代理的效用最大化問題可以表述為：
最大 u(x) stpx ≤ w
另一方面，當代理人的約束是達到效用水平 h 時，她的支出最小化問題可以表述為：
最小像素 st u(x) ≥ h
證明如果當 w > 0 時 x 在效用最大化問題中是最優的，那麼當約束是要達到效用水平 u(x) 時 x* 在支出最小化問題中是最優的。**
讓我們用反證法來證明。假設 $ x^{} $ 對於第一個問題是最優的，但對於第二個問題不是。自從 $ x^{} $ 對於支出最小化問題不是最優的，存在一個捆綁 $ x $ 這樣
$$ \begin{equation*} u(x) \geq u(x^{}) \text{ and } p \cdot x < p \cdot x^{} \end{equation*} $$ 由於函式 $ y \rightarrow p.y $ 是連續的，並且 $ p \cdot x < p \cdot x^{} $ ， 那裡存在 $ \epsilon>0 $ 這樣 $ |y-x|<\epsilon \Rightarrow p \cdot y < p \cdot x^{} $ . 此外，由於偏好是局部不滿足的，存在 $ y $ 這樣 $ |y-x|<\epsilon $ 和 $ u(y)>u(x) $ . 採取這樣的 $ y $ . 我們有
$$ \begin{equation*} u(y) > u(x) \geq u(x^{}) \text{ and } p \cdot y < p \cdot x^{} \leq w \end{equation*} $$ 或者，換句話說，
$$ \begin{equation*} u(y)>u(x^{}) \text{ and } p.y < w \end{equation} $$ 這與以下假設相矛盾 $ x^{*} $ 是效用最大化問題的解決方案。