導出在uu和ddd使用二叉樹方法的係數
從赫爾的書中推導上下運動的係數時， $ u $ 和 $ d $ ，使用二叉樹方法的股票價格，在某些時候我們得到以下等式：
$$ e^{\mu\Delta t}(u+d) - ud - e^{2\mu\Delta t} = \sigma^2\Delta t. $$ 然後說明，通過求解上述方程，我們得到 $ u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}} $ 和 $ d= e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} $ . 還要注意的是，我們使用泰勒公式和投擲 $ \Delta t^2 $ 和更高的術語：
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots. $$ 你能澄清一下我們如何得到這個結果嗎？
到目前為止，我使用泰勒公式得到：
$$ e^{\mu\Delta t} \approx 1 + \mu\Delta t, $$ $$ e^{2\mu\Delta t} \approx 1 + 2\mu\Delta t. $$ 那麼上式轉化為
$$ (1+\mu\Delta t)(u+d) - ud - 1 - 2\mu\Delta t = \sigma^2\Delta t. $$ 我很困惑如何從這裡開始。我試著做一些代數，但沒有結果。例如，如果我們假設 $ ud=1 $ 然後我們得到
$$ (1+\mu\Delta t)(u+d) - 2(1+\mu\Delta t) = \sigma^2\Delta t, $$ $$ (1+\mu\Delta t)(u+d-2) = \sigma^2\Delta t $$ 和 $$ u+d = \frac{\sigma^2\Delta t}{1+\mu\Delta t} + 2 $$ 我在這里卡住了
我們假設 $ u=e^x $ 和 $ d = e^{-x} $ . 注意
$$ \begin{align*} u &\approx 1+ x +\frac{x^2}{2}, \textrm{ and}\ d &\approx 1- x +\frac{x^2}{2}. \end{align*} $$ 將這些代入你的最後一個方程， $$ \begin{align*} u+d = \frac{\sigma^2 \Delta t}{1+\mu\Delta t} + 2, \end{align*} $$ 我們得到 $$ \begin{align*} x^2 \approx \frac{\sigma^2 \Delta t}{1+\mu\Delta t}. \end{align*} $$ 另請注意 $$ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{1+\mu\Delta t}} \approx 1-\frac{1}{2}\mu\Delta t+\frac{3}{8}(\mu\Delta t)^2. \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} x & \approx \frac{\sigma \sqrt{\Delta t}}{\sqrt{1+\mu\Delta t}}\approx \sigma \sqrt{\Delta t} -\frac{1}{2}\mu\sigma (\Delta t)^{3/2} + \frac{3}{8}\sigma \mu^2 (\Delta t)^{5/2} \approx \sigma \sqrt{\Delta t}. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} u &= e^x =e^{\sigma \sqrt{\Delta t}},\ d &= e^{-x} =e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}. \end{align*} $$