如何推導標準二叉樹（前向樹）的風險中性機率公式
考慮一個標準的二叉樹。讓 $ u = e^{(r - \delta)h + \sigma\sqrt{h}} $ 和 $ d = e^{(r - \delta)h - \sigma\sqrt{h}}, $ 在哪裡 $ \delta $ 是連續複利的股息收益率， $ h $ 是二項式模型中一個週期的長度，並且 $ \sigma $ 是波動性。
我在教科書中被告知風險中性機率 $ p* $ 是（誰）給的：
$$ p^* = \frac{e^{(r - \delta)h} - d}{u - d} = \frac{1}{1 + e^{\sigma\sqrt{h}}}. $$ 我嘗試如下推導第二個相等：
$ \begin{align}\frac{e^{(r - \delta)h} - d}{u - d} &= \frac{e^{(r - \delta)h} - e^{(r - \delta)h - \sigma\sqrt{h}}}{e^{(r - \delta)h + \sigma\sqrt{h}} - e^{(r - \delta)h - \sigma\sqrt{h}}}\ &= \frac{e^{(r - \delta)h}(1 - e^{-\sigma\sqrt{h}})}{e^{(r - \delta)h}(e^{\sigma\sqrt{h}} - e^{-\sigma\sqrt{h}})}\ &= \frac{1 - e^{-\sigma\sqrt{h}}}{e^{\sigma\sqrt{h}} - e^{-\sigma\sqrt{h}}}\end{align}. $
現在在這一點上我被卡住了，我不確定它是否是我沒有看到的代數，或者是否有一些前向樹的屬性可以用來得出結論。
這是推導它的一種代數方法：
$$ \frac{(1 - e^{-\sigma\sqrt{h}})(1 + e^{\sigma\sqrt{h}})}{(e^{\sigma\sqrt{h}} - e^{-\sigma\sqrt{h}})(1 + e^{\sigma\sqrt{h}})} = \frac{1 - e^{-\sigma\sqrt{h}} + e^{\sigma\sqrt{h}} - 1}{(e^{\sigma\sqrt{h}} - e^{-\sigma\sqrt{h}})(1 + e^{\sigma\sqrt{h}})} = \frac{e^{\sigma\sqrt{h}} - e^{-\sigma\sqrt{h}}}{(e^{\sigma\sqrt{h}} - e^{-\sigma\sqrt{h}})(1 + e^{\sigma\sqrt{h}})} = \frac{1}{1 + e^{\sigma\sqrt{h}}} $$