二項式資產定價模型中的亞洲期權是鞅嗎？
由於它沒有價格的封閉形式解決方案，因此不太可能是鞅。但是，另一方面，如果我們將價格表示為目前股票價格和迄今為止的平均價格的函式，我們可以寫下公式：
$$ v_n(s,y)=(1+r)^{-1}[\tilde{p}v_{n+1}(us,(y*(n+1)+us)/(n+2))+\tilde{q}v_{n+1}(ds,(y*(n+1)+ds)/(n+2))] $$ 在哪裡 $ S_n=s,\frac{1}{n}\sum_{k=0}^nS_k=y $ 和 $ u,d $ 是向上/向下因素。這似乎是一個鞅。
$$ Short answer $$
是的，假設沒有免費的午餐，人們總是可以將期權價格表示為鞅，因此是預期。
當期權價格沒有封閉式公式時，它只是意味著後一種預期在分析上是難以處理的。
$$ Long answer $$
在沒有套利機會的情況下，人們總是可以訴諸等價機率測度的存在，在這種測度下，期權價格（我寧願說是使用上市證券可獲得的所有自籌資金策略的貼現價格）作為鞅出現。這有時被稱為資產定價的基本定理。
更具體地說，假設市場模型是完整的（二叉樹定價模型就是這種情況），可以證明這些度量中的每一個都對應於所謂的numeraire的唯一選擇，numeraire 是一種資產 $ N_t > 0 $ , 這樣價格 $ V_t $ 任何可交易期權，當以計價單位表示時，即 $ V_t/N_t $ , 是鞅。
與貨幣市場賬戶計價相關的等效鞅測度
$$ N_t = B_t = e^{\int_0^t r (u) du} $$ 最為人所知的是風險中性措施。 在沒有套利機會的情況下，人們總是可以這樣寫：
$$ V_0 = \mathbb {E}^{\mathbb {Q}^B}[ e^{\int_0^t r (u) du} V_T ] \tag{I} $$ 其中期權的終值 $ V_T $ 只是沒有套利的收益，收益可以寫成 $$ V_T = f (S_{t_1},…,S_{t_N}) $$ 在哪裡 $ f (.) $ 是一個完全通用的函式 $ N $ 觀察到的股票固定值 $ [0,T] $ ( $ N $ 甚至不必是有限的）。 沒有期權價格的封閉式公式並不意味著我們不能以馬丁格爾的形式寫出價格 $ (I) $ ，因此作為一種期望，但僅僅意味著所討論的期望在分析上是不可處理的。
這可能發生，因為潛在的擴散模型本身是難以處理的。例如，即使是歐式看漲/看跌期權，在局部波動率模型或二叉樹定價模型下也沒有封閉式公式：必須恢復為數值方法。
這也可能發生在易於處理的擴散模型中，因為目標選項的異國情調：例如，在簡單的 Black-Scholes 模型中沒有離散算術亞洲期權的封閉式公式，而存在幾何和連續算術的公式版本。