以市價計價 (mtm) 交叉貨幣掉期的凸性調整
我可以知道凸度調整是從哪裡來的嗎？在實踐中，它通常是如何計算的？
它來自外彙和利率之間的相關性嗎？
理論上非mtm交叉貨幣掉期沒有這種調整是對的嗎？
首先，我們將減記按市價基準交叉貨幣掉期的收益。其次，我們會做一些探索。第三，我們希望我們的探索能夠取得豐碩的成果，以便我們能夠了解我們需要在哪裡計算凸度調整。
所需的正向曲線是：
- 國內 LIBOR 曲線 $ L^\text{d} $ ，例如，如果本國貨幣是 GBP，那麼這就是 GBP LIBOR。同樣，我們也有外國 LIBOR 曲線 $ L^\text{f} $ .
- 國內OIS曲線 $ B^\text{d} $ 和國外OIS曲線 $ B^\text{f} $ .
- 國內基差曲線 $ s^\text{d} $ ，即實數 $ s^\text{d} $ 這樣 $ L^\text{d}=B^\text{d}+s^\text{d} $ ，我們還有外國基差曲線 $ s^\text{f} $ ，即實數 $ s^\text{f} $ 這樣 $ L^\text{f}=B^\text{f}+s^\text{f} $ .
我們還需要國內的名義 $ N^\text{d} $ , 外匯即期匯率 $ X $ 和一張優惠券 $ c $ 添加到外國 LIBOR 利率。
讓 $ t_\alpha $ 是第一個重置日期和 $ t_\beta $ 是最後付款日期，其中 $ \alpha, \beta \in \mathbf{N} $ . 盯市交叉貨幣掉期（以下稱為 mtmxccy 掉期）的貼現現金流將在第一個重置日有貼現現金流 $ t_\alpha $ 成為 $$ \pi_{t_\alpha}^\text{f}=\sum_{i=\alpha+1}^{\beta} \left\lbrace N^\text{d} \left( L^\text{f}(t_{i-1},t_i) +c \right) \tau^\text{f}i X(t{i-1}) B^\text{f}(t_\alpha,t_i) \right\rbrace + \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} N^\text{d} X(t_{i-1}) \left( B^\text{f}(t_\alpha,t_i) -B^\text{f}(t_\alpha,t_{i-1}) \right) $$ 值得花一兩秒鐘檢查一下這個回報 - 我建議設置 $ \alpha=0,\beta=1 $ ，即單票面案例，了解國外腿的現金流量是多少。
mtmxccy 掉期將在時間 0 的外部分支的 PV 為 $$ \begin{align} \pi_{0}^{\text{f}} & = \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d} }{0} \left[ \pi{t_\alpha}^\text{f} \right] \ & = N^\text{d} \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d} }{0} \left[ \left\lbrace \left[ \left( L^\text{f}(t{i-1},t_i) + c \right) \tau_i^\text{f} +1 \right] B^\text{f}(t_{i-1},t_i) -1 \right\rbrace B^\text{f}(0,t_i) X(t_{i-1}) \right] \ & = N^\text{d} X(0) \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} P^{\text{d}}(0,t_{i-1}) \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d},t_{i-1} }{0} \left[ \left\lbrace \left[ \left( L^\text{f}(t{i-1},t_i) + c \right) \tau^\text{f}i + 1 \right] B^\text{f}(t{i-1},t_i)-1 \right\rbrace \right] \ & = \text{some algebra …} \ & = N^\text{d} X(0) \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} P^{\text{d}}(0,t_{i-1}) \left[ s^\text{f}(t_{i-1},t_i) + c \right] \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d},t_{i} }{0} \left[ B^\text{f} (t{i-1},t_i) \right] \end{align} $$
我沒有展示“一些代數”部分的步驟有兩個原因 - 首先，您需要使用以下事實 $ L^\text{f}=s^\text{f}+B^\text{f} $ , 可以更明確地寫成 $$ L^\text{f}(t_1,t_2) = s^\text{f}(t_1,t_2)+B^\text{f}(t_1,t_2) = s^\text{f}(t_1,t_2) + \frac{1}{\tau^\text{f}_i} \left[ \frac{1}{B^\text{f}(t_1,t_2)} -1 \right], $$ 其次，更重要的是，我非常懶惰。最好自己做一些工作來驗證我沒有打錯字。
現在，凸性調整從何而來？期限 $ \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d},t_{i} }{0} \left[ B^\text{f} (t{i-1},t_i) \right] $ 需要進行凸度調整，因為預期是在國內衡量標準下進行的，但所考慮的債券自然會以國外衡量標準表示。所以你需要從國外的前瞻措施切換到國內的前瞻措施。
（國內路段更麻煩，還需要時間調整，但我們改天再說吧）
正是在這一點上，您需要指定一個模型來為債券定價 $ B $ - Vasicek 模型（或 Hull-White 模型）通常可以完成這項工作。需要引入以下參數
- 國內債券波動函式
- 外債波動函式
- FX即期匯率波動函式
- 國內外債券的相關性， $ \rho^{\text{d,f}} $
- 相關外匯即期匯率和外國債券， $ \rho^{\text{X,f}} $ .
1 和 2 不是市場報價 - 但它們可以從市場報價的 caplet 波動面中恢復。
這個答案可能不完整——可能會有更細微的和/或其他影響導致另一種形式的凸度調整。
交叉貨幣掉期 (xcs) 市場有一個以 mtm-xcs 為中心的流動性市場。在一般實踐中，市場定價是由流動性最強的產品的價格決定的，或者換句話說，凸性調整是一種定價調整，以考慮到使用流動性市場對沖可能產生的因素，但不能完全反映市場風險。
Non-mtm-xcs 經常因跨境公司發行而交易，公司將現金流轉回本國貨幣。經銷商將使用 mtm-xcs 進行對沖。如果市場變化和外匯匯率變動，這將產生不再一致的現金流。雖然不一定會產生任何 xcs 基差風險或市場 delta 風險，但它會產生需要對沖的單一貨幣基差風險。
雖然沒有方向性，但這增加了套期保值要求，因此是套期保值的不受歡迎的特徵。因此，增加了費用（或凸性調整）來反映這一點，並將與預期的外匯匯率波動成正比。
mtm-xcs 對沖的 mtm-xcs 不會有任何額外的考慮。