在曲線建構中：如何計算第一個已知生效日期之前期間的利率（折扣因子）

我正在使用面值掉期利率建構曲線。例如，我有以下兩個半年度掉期作為輸入

持續時間開始結束率 
1 年 2011 年 11 月 14 日 2012 年 11 月 14 日 0.58%
2 年 2011 年 11 月 14 日 2013 年 11 月 14 日 0.60%

我想為10-Nov-2011. 我不知道如何計算 的折扣係數14-Nov-2011，因為我不知道如何選擇從10-Nov-2011until期間的費率14-Nov-2011。

有誰知道如何找到折扣係數14-Nov-2011？

**附加資訊：**對於先前的輸入，曲線看起來像

日期,折扣係數
11 年 11 月 10 日，1 
11 年 11 月 14 日，0.999935743789455 ???
12 年 5 月 14 日，0.997012282219702 
12 年 11 月 14 日，0.99406543047691 
12 年 11 月 15 日，0.993981821851122 
13 年 5 月 15 日，0.990959091324625 
13 年 11 月 15 日，0.987828512874748 

使用參數生成：

• 應計方法：實際/360。
• 在引導過程中使用的插值：來自即期匯率的線性。
• 交換引導法：線性即期匯率。

在我的計算中，如果我們選擇比率0.58%而不是折扣因子，則為14-Nov-11：

$$ \textrm{discount factor} = \frac{1}{1+rate\times accrual} = \frac{1}{1+\frac{0.58}{100} \times \frac{4}{360}} = 0.99993555970837 $$ 這不是正確的值。

此外，當我嘗試重現用於建構已有曲線的速率時，我得到：

$$ rate = \frac{1-discount factor}{discount factor \times accrual} = \frac{1-0.999935743789455}{0.999935743789455 \times \frac{4}{360}}= 0.57834% $$

但我不清楚如何從輸入數據中獲得這個比率。

如果我們想在第一次已知掉期（或現金、期貨等）之前找到匯率，我們需要執行以下操作：

1. 按終止日期對輸入進行排序，然後從第一個中選擇費率。就我而言，它是0.58%。所以，讓我們表示 $ \textrm{firstIntervalRate}=0.58% $ .
2. 從估值日期到第一個開始（生效）日期期間的費率應使用以下公式計算 $$ \begin{align} r &= \left ( (1+\textrm{firstIntervalRate})^{accrual}-1\right ) \times \frac{1}{accrual}\ &=\left ( \left (1+ \frac{0.58}{100}\right )^{\frac{4}{360}}-1 \right ) \times \frac{360}{4}= 0.57834%.\end{align} $$

推導：

如果我們有 $ N $ 以給定的年利率付款（在我的情況下是 $ \textrm{firstIntervalRate} $ ) 比每個時期的利率 $ r_p $ 會滿足

$$ \textrm{firstIntervalRate} = \prod_{n=1}^{N}(1+r_p)-1= (1+r_p)^N -1, $$ 所以這個時期的利率 $ 1/N $ 一年將是 $$ r_p=(1+\textrm{firstIntervalRate})^{1/N}-1. $$ 如果我們想要任意天數的費率，我們需要更改 $ 1/N $ 在前面的公式中與實際 $ accrual $ 因素。現在，我們有率 $ r_p $ 持續幾天（在我的情況下是 4 天），下一步是通過乘以每年的付款次數（或者在任意情況下為 $ 1/accrual $ ).

您的估價日期是 $ t= $ 2011 年 11 月 10 日星期四。掉期從即期日期開始，即 $ t + 2 $ 工作日 = 2011 年 11 月 14 日星期一。通常的方法是在 $ t $ 和第一個曲線柱，其方式與您用於表示貼現曲線的插值方法一致。例如，如果您使用零息票利率的線性插值，那麼您可能希望使用零息票利率的線性外推。或者，一些系統使用平面外推，它不會對曲線的短端產生太大影響。

請注意，要獲得更豐富的曲線，您可能需要添加短期工具，例如 OIS 貼現曲線的每周和每月到期掉期，或 Libor 預測曲線的 FRA 或期貨。

關於 bootstrapping 的快速說明：在 bootstrapping 時，您正在做一些插值假設（因為您需要掉期半年度現金流的貼現因子）。

常見的做法是：

1. 通過增加成熟度對您的 N 個工具進行排序。
2. 將工具期限轉化為 N 個時間支柱。
3. 選擇曲線插值/外推方法，以便您可以將曲線視為取決於 N 個參數（例如，如果您選擇插值零票面利率，則為 N 個零票面利率）。
4. 將您的引導問題視為尋找 N 個參數以匹配 N 個價格。

這看起來像一個 N 維問題，但只要你的插值是這樣的，直到成熟度 T 的曲線不依賴於柱子 > T （即，局部的線性插值很好，但全域的樣條曲線不好）然後N維問題簡化為容易解決的N個一維問題的序列。

這種方法的優點是您可以在引導程序中使用任何工具組合。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/36937