具有幾何平均的亞洲期權

有人能指出任何關於如何推導出亞洲幾何平均期權的封閉式公式的註釋嗎？[數學處理錯誤] max(log(ATK),0)數學處理錯誤AT][Math Processing Error] $ \text{max}\left(\text{log}\left(\frac{A_T}{K}\right), 0\right) $ 在哪裡[Math Processing Error] $ A_T $ 是（誰）給的

[Math Processing Error]$$ A_T=\text{exp}\left(\frac{1}{T}\int_0^T \text{log}(S_u) du \right) $$ 我們可以假設股票遵循 Black Scholes 模型中的 GBM。

注意

[Math Processing Error]$$ \begin{align*} \int_0^T\ln S_u du &= \int_0^T\Big[\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)u + \sigma W_u \Big] du\ &=\frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T^2 + \sigma\int_0^T\int_0^u dW_s ,du\ &=\frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T^2 + \sigma\int_0^T\int_s^T du ,dW_s\ &=\frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T^2 + \sigma\int_0^T(T -s) ,dW_s,\ \end{align*} $$ 這是正態分佈的。然後 [Math Processing Error]$$ \begin{align*} \ln \frac{A_T}{K} &= \frac{1}{T}\int_0^T\ln S_u, du -\ln K\ &\sim N\left(\frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T-\ln K, \ \Big(\frac{\sigma T}{\sqrt{3}}\Big)^2 \right)\ &=\mu + \Sigma, \xi, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mu = \frac{1}{2}\big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\big)T -\ln K $ , $ \Sigma = \frac{\sigma T}{\sqrt{3}} $ ， 和 $ \xi $ 是標準正態隨機變數。因此，期權收益具有價值 [數學處理錯誤] e−rTE(max(ln⁡ATK,0))=e−rTE(max(μ+Σξ,0))=e−rT2π∫−μΣ∞(μ+Σx)e−12x2dx=e−rT[μΦ(μΣ)+Σ2πe−μ22Σ2],數學處理錯誤Φ][Math Processing Error]$$ \begin{align*} e^{-rT} E\left(\max\Big(\ln \frac{A_T}{K}, , 0 \Big) \right) &= e^{-rT} E\left(\max\big(\mu + \Sigma, \xi, , 0 \big) \right)\ &=\frac{e^{-rT}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{\mu}{\Sigma}}^{\infty} (\mu+\Sigma , x) e^{-\frac{1}{2}x^2}dx\ &=e^{-rT}\bigg[\mu \Phi\Big(\frac{\mu}{\Sigma}\Big)+\frac{\Sigma}{\sqrt{2\pi}} , e^{-\frac{\mu^2}{2\Sigma^2}}\bigg], \end{align*} $$ 在哪裡[Math Processing Error] $ \Phi $ 是標準正態隨機變數的累積分佈函式。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/18753