希臘人使用 Brigo 進行交換
我努力計算交換的增量。在利率案例中，我通常會隨著時間的推移處理多個現金流，因此貼現比股權案例更複雜。
讓我先介紹一些符號。我們用 $D(0,T)$ 表示期限為 $T$ 的貼現因子，$P(0,T)$ 表示期限為 $T$ 的零息債券的價格，並讓 $Q$ 表示風險中性度量.
通過簡單的風險中性估值，我們知道：
$$D(0,0)V_0 = V_0 = E_Q[V_TD(0,T)|\mathcal{F}_t]$$
不，我們對掉期感興趣，我們的期權到期時間為 $T_\alpha$，而基礎掉期的期限為 $T_\beta$。swpation 的折現值可以寫為
$$D(t,T_\alpha)(S_{\alpha,\beta}(T_\alpha)-K)^+\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(T_\alpha,T_i )$$
其中 $\tau_i$ 是 $T_{i-1}$ 和 $T_i$ 之間的天數約定。
現在關於使用上述兩個等式進行估值：
$$ V_0 = E_Q[D(0,T_\alpha)(S_{\alpha,\beta}(T_\alpha)-K)^+\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(T_ \alpha,T_i)|\mathcal{F}_0]$$
使用計價的智能變化，掉期計量器$S$，即由$\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(t,T_i)$引入的計價收益率
$$ V_0 = E_Q[D(0,T_\alpha)(S_{\alpha,\beta}(T_\alpha)-K)^+\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(T_ \alpha,T_i)|\mathcal{F}0]=\sum{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(0,T_i)E_S[(S_{\alpha,\beta}(T_{\alpha })-K)^+|\mathcal{F}_0]$$
我們知道，在 $S$ 度量下，遠期互換利率 $S_{\alpha,\beta}(t)$ 是一個鞅。對於價格，如果我們假設遠期掉期利率是正態分佈的，我們現在可以簡單地應用 Black 公式。
現在我的問題是，如果我對 delta 應用正常計算，我會得到 $\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(0,T_i) N(d_1)$，其中 $d_1$ 是Black 76 公式的表達式。然而，這個術語 $\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(0,T_i)$ 讓我很惱火。我得到完全錯誤的結果。如果我只使用 $N(d_1)$ 我會得到合理的結果。所以我的問題是，$N(d_1)$ 給出的增量是否也用於交換？如果是這樣，我的錯誤在哪裡？
為簡單起見，我添加了一個帶有具體數字的範例。
範例 我們採用到期為 5 美元年和基礎期限為 5 美元年的掉期期權。$S_{\alpha,\beta}(0) = 0.0271$, $\sigma = 0.34$, $r = 0.011$, $T=5$, $K = 0.028$ 和年金 $A=4.92$。使用 Black 76 我們應該得到 $\Delta$：
$$\Delta = A\cdot N(d_1),$$ 其中
$$d_1 = \frac{\log{\frac{S_{\alpha,\beta}(0)}{K}}+\frac{\sigma^2\cdot T}{2}}{\sigma\cdot \sqrt{T}}$$
在這裡，我得到了 $N(d_1) = 0.332296$ 和 $\Delta = 1.634896$ 的值，這沒有意義。
由於掉期利率不可交易，因此相對於即期掉期利率的 delta 對沖比率並不是真正有用的。但是，請注意 \begin{align*} V_0 &= \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\big[S_{\alpha, \beta}(0) N(d_1) - k N(d_2) \big]\ &= \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) S_{\alpha, \beta}(0 )N(d_1) - N(d_2) k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\ &= \Big[P(0, T_{\alpha} ) - P(0, T_{\beta})\Big]N(d_1) - N(d_2) k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\ &= \bigg[P(0, T_{\alpha}) - P(0, T_{\beta})- k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i )\bigg]N(d_1) \ & \qquad\qquad\qquad\qquad + \Big[N(d_1)- N(d_2)\Big] k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta }\tau_i P(0, T_i)。\end{align*} 這裡，\begin{align*} A_{\alpha, \beta} &\triangleq P(0, T_{\alpha}) - P(0, T_{\beta}) - k \sum_ {i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\ &= \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\big[S_{\alpha, \beta}(0) -k \big] \end {align*} 是底層交換的值， \begin{align*} k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) \end{align*} 是零息債券組合的價值。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。= \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\big[S_{\alpha, \beta}(0) -k \big] \end{align*} 是基礎互換的價值， \begin{align*} k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) \end{align*} 是投資組合的價值零息債券。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。= \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\big[S_{\alpha, \beta}(0) -k \big] \end{align*} 是基礎互換的價值， \begin{align*} k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) \end{align*} 是投資組合的價值零息債券。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。T_i)\big[S_{\alpha, \beta}(0) -k \big] \end{align*} 是底層交換的值，\begin{align*} k \sum_{i=\alpha +1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) \end{align*} 是零息債券組合的價值。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。T_i)\big[S_{\alpha, \beta}(0) -k \big] \end{align*} 是底層交換的值，\begin{align*} k \sum_{i=\alpha +1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) \end{align*} 是零息債券組合的價值。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。和 \begin{align*} k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) \end{align*} 是零息債券組合的價值。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。和 \begin{align*} k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) \end{align*} 是零息債券組合的價值。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。我們定義掉期期權的 delta 對沖比率與掉期期權價值相對於掉期價值 $A_{\alpha,\beta}$ 的導數。注意 \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k。\end{align*} 然後 \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \ beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\ &= N(d_1), \end{align*}即，出於對沖目的，要購買的標的掉期的數量。
參見http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.28.7064&rep=rep1&type=pdf中的討論。