Gamma 和 delta P&L 範例問題
我試圖對這個範例三角梯有一個基本的了解
Price Delta 80 43 90 31 100 25 110 11 120 -5 130 -20 140 -12 150 10 160 15 170 30位置在 110
因此，它在 130 以上的上行空間中是多頭伽馬，但最初是空頭，並且是短伽馬下行空間。
我想以一種易於理解的方式知道，如果價格最終達到上述每個價格點，delta 和 gamma 損益是多少。
我對 130 的理解是
Delta = 11*(130-110) = 220 Gamma = ((-20-11) * (130-110)) /2 = -310 Total P&L = delta + gamma = -90因此，如果價格從 110 漲到 170，那麼它是
P&L from 110-130 = -90 P&L from 130-170 = Delta = -20 * (170-130) = -800 Gamma = ((30-20) * (170-130))/2 = 200 Total = -600 Total P&L = -90-600 = -690如果這是正確的，那麼它與曲線下的面積不一樣嗎？即，我可以做一個離散積分？
首先，我認為您在上面的計算中犯了一個錯誤。你寫的地方 $ (30-20) $ , 我想你的意思是 $ (30-(-20)) $ IE $ 30+20 $ , 產生 gamma P&L $ 1000 $ 代替 $ 200 $ . 您的總損益超過 $ [90,170] $ 那麼將是 $ 110 $ 代替 $ -690 $ . 無論哪種方式，我的回答都無關緊要，只是想我會為困惑的讀者指出這一點。
根據定義， $ \Delta = \frac{\partial V}{\partial S} $ ， 在哪裡 $ V $ 是金融衍生品的價格和 $ S $ 是其底層證券的價格。
因此，如果 $ S $ 經歷從 $ S_0 $ 到 $ S_1 $ , 從邏輯上可以得出
$$ \Delta V = V(S=S_1) - V(S=S_0) = \int_{S_0}^{S_1}{\Delta \mathrm{d}S} $$ 因此，您的損益確實是曲線下的區域。現在，不幸的是，您在這裡計算的不是那個。事實上，通過將您的損益表寫成這些簡單的 delta 和 gamma 項的總和，您在數學上真正想說的是：
$$ \Delta V = \int_{S_0}^{S_1}{\Delta \mathrm{d}S} = \Delta(S=S_0)\cdot(S_1-S_0) + \frac{\Delta(S=S_1)-\Delta(S=S_0)}{2}\cdot(S_1-S_0) $$ IE $$ \Delta V = \frac{\Delta(S=S_0)+\Delta(S=S_1)}{2}\cdot(S_1-S_0) $$ 例如，這將成立 $ \Delta $ 假設線性超過 $ [S_0,S_1] $ ，但不幸的是，在一般情況下並非如此。例如，過 $ [110, 130] $ , 你的計算 $ \Delta $ 略微凹入（它必須等於 $ 4.5 $ 在 $ 120 $ 是線性的），因此您對損益的估計略有偏差。超過 $ [130,170] $ ，隨著區間越大，形狀越複雜，誤差明顯越差。
當你知道一些值時更好的估計 $ \Delta $ 在離散間隔上將假設它在觀察之間是分段線性的。這相當於使用您的方法，但在盡可能小的間隔內，這確實與您建議的那樣與進行離散積分相同。在這種情況下
$$ \int_{S_i}^{S_j}{\Delta \mathrm{d}S} = \sum_{k=i}^{k=j-1}\left(\frac{\Delta(S=S_k)+\Delta(S=S_{k+1})}{2}\cdot(S_{k+1}-S_k)\right) $$ 在您的特定情況下，計算將產生
$$ \Delta V = \left(\frac{11-5}{2}+\frac{-20-5}2+\frac{-12-20}2+\frac{-12+10}2+\frac{15+10}2+\frac{30+15}2\right)\cdot10=85 $$ 如您所見，它給出了完全不同的結果；-)