伊托斯引理
隨機全導數的積分
超級基礎的問題。我認為我這樣做是正確的，但只是想要進行健全性檢查。
假設我有一個隨機過程 $ r(t) $ .
假設我有一個方程
$$ d(e^{\beta (t-s)}r(s))=\dots $$ 在哪裡 $ e^{\beta (t-s)} $ 術語是確定性的並且 $ t\geq s > 0 $ .
然後說我們要整合雙方從 $ s $ 到 $ t $
$$ \int_s^t{d(e^{\beta (t-u)}r(u))}=\dots $$ 然後我們有
$$ e^{\beta (t-t)}r(t)-e^{\beta (t-s)}r(s)=\dots $$ $$ r(t)-e^{\beta (t-s)}r(s)=\dots $$ 如果我有這個錯誤，請糾正我。謝謝。
我認為你的第一個等式中有一個錯字。執行變數應該是 $ s $ ，如 $ d\left( e^{\beta(t-s)} r(s) \right) $ .
讓我們從你的積分開始。讓 $ R_u = e^{-\beta u} r_u $ . 你的積分變成
$$ e^{\beta t} \int_s^t d R_u , . $$ 回想起那個 $ dR_u = R_{u+du} - R_u $ . 積分計算為 $ e^{\beta t}(R_t -R_s) $ ，這簡化為 $ r_t - e^{\beta(t-s)} r_s $ ，這就是你得到的。