伊藤引理的這種應用是否正確？
假設 $ S $ 遵循幾何布朗運動
$$ dS=S(\mu dt+\sigma dB). $$ 很好理解的是
$$ S_{T}=S_{0}exp((\mu-\dfrac{\sigma^{2}}{2})T+\sigma B_{T}). $$ 方法1（我對此沒有問題）
讓 $ f(S)=log(S) $ 並進行二階泰勒展開並註意到 $ (dB)^{2}=dt $ . 例如：
$$ d(log(S)) = f’(S)dS+\dfrac{1}{2}f’’(S)S^{2}\sigma^{2}dt=\dfrac{1}{S}(\mu dt+\sigma SdB)-\dfrac{1}{2}\sigma^{2}dt=(\mu-\dfrac{\sigma^{2}}{2})dt+\sigma dB.\quad (*) $$ 它遵循
$$ log(S_{T})=log(S_{0})+(\mu-\dfrac{\sigma^{2}}{2})T+\sigma B_{T} $$ 因此 $$ S_{T}=S_{0}exp((\mu-\dfrac{\sigma^{2}}{2})T+\sigma B_{T}). $$ 上面的推導非常好，例如可以在 Wikipedia 上找到。
方法2（允許這樣做嗎？）
讓我們使用伊藤引理
$$ dF(t,X(t))=(F_{t}’+a(t)F_{x}’+\dfrac{1}{2}b(t)^{2}F’’{xx})dt+(b(t)F’{x})dB $$ 對於一個過程 $ dX(t)=a(t)dt+b(t)dB(t) $ 和一個功能 $ F(t,X(t)) $ . 讓 $ F(t,X(t))=log(X(t)). $ 讓 $ dS=S\mu dt+S\sigma dB $ ， 然後讓 $ a(t)=S\mu $ 和 $ b(t)=S\sigma $ . 這是我的問題： $ a(\cdot) $ 是一個函式 $ t $ 並不是 $ S $ ，所以這仍然可以嗎？. 然後 $$ dF=(0+\mu+\dfrac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\times(\dfrac{-1}{S^{2}}))dt+\sigma\dfrac{S}{S}dB=(\mu-\dfrac{1}{2}\sigma^{2})dt+\sigma dB. $$ 在這裡，我們從方法 1 到達 (*)，因此結果如下。 這個推導在技術上是正確的嗎？僅僅因為它給出了正確的答案，並不意味著該方法是正確的。
您使用的第二種方法是正確的，實際上完全等同於第一種方法。原因是伊藤引理的證明依賴於二階的泰勒展開。
請注意，維基百科對伊藤引理的表述有點誤導，因為他們寫道
$$ dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dB_t $$ 但實際上，函式 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 被允許依賴 $ X $ ， 那是 $$ \mu_t = \mu(t,X_t) \qquad \text{and}\qquad \sigma_t = \sigma(t,X_t). $$ 因此，您對伊藤引理的應用在形式上是正確的。 PS：例如，請參閱此處了解引理的推導，其中事實是 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 可以依賴 $ X_t $ 在等式（1）之後明確表示。