Shreve book II 問題 4.6 錯誤？

我正在研究 Shreve II，在問題 4.6 中，你被要求計算

$ d(S_t^p) $ 在哪裡 $ S_t $ = $ S_0e^{\sigma W_t + (\alpha - \frac{1}{2}\sigma^2)t} $

我得到答案 $ pS_t^p[\sigma dW_t + (\alpha + \frac{1}{2}\sigma^2p - \sigma^2)dt] $

而線上解決方案手冊得到 $ pS_t^p[\sigma dW_t + (\alpha + \frac{1}{2}\sigma^2(p - 1)dt] $

澄清我或解決方案的作者犯了一個錯誤。通過他們的解決方案，我相信他們放棄了一個包含 $ \sigma $ 他們不應該丟棄它的地方。

$$ d(S^p) = pS^p (\alpha +\sigma dW) + \frac{1}{2}p(p-1)S^p\sigma^2 dt $$ $$ = pS^p \left[ \left(\alpha +\frac{1}{2}\sigma^2(p-1)\right)dt + \sigma dW \right] $$

Shreve 的回答是正確的：

漂移項 $ \frac{dS^p}{S^p} $ 有兩個部分：

• $ p \left(\alpha - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) $ 從正常分化
• $ \frac{1}{2} p^2 \sigma^2 $ 是伊藤項。

當你總結它們時，你會得到 $ p \left(\alpha + \frac{1}{2} (p-1) \sigma^2 \right) $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/15574