任意適應的隨機過程的微分是什麼意思？
我正在研究自籌資金投資組合的定義。
說 $ V=\phi_tS_t+\psi_t A_t $ 在哪裡 $ S_t $ 和 $ A_t $ 是當時的股票價格和貨幣市場價格 $ t $ , 分別, 和 $ \phi_t $ 和 $ \psi_t $ 是當時投資於股票和貨幣市場的股票 $ t $ , 分別
然後我遇到了這樣的公式： $ dV_t $ = $ \phi_t dS_t $ + $ \psi_t dA_t $ + $ S_t d\phi_t $ + $ A_t d\psi_t $ + $ dS_t d\phi_t $ + $ dA_t d\psi_t $ .
我不知道最後四個術語是什麼意思。準確地說，我不知道是什麼 $ d\phi_t $ 或者 $ d\psi_t $ 意思是。它們只是一些經過調整的隨機過程，我對它們一無所知。
此外，大多數參考書或講義（像這樣，第 16 頁）都聲稱上述公式是基於伊藤引理。伊藤引理/公式是否僅適用於伊藤工藝？
非常感謝，
我應該稍微澄清一下我的困惑。如果我理解正確，微分符號沒有數學意義。然而，對於 $ dS_t $ 和 $ dA_t $ ，他們的積分是。所以我明白 $ dS_t $ 和 $ dA_t $ . 但是之後 $ d\phi_t $ 或者 $ d\psi_t $ 對我來說沒有意義。因為它們本身或積分都沒有被定義。
此外，@Neeraj 在等式中的方法 $ 3 $ 更像是一種離散的方法，這很棒，我可以遵循邏輯。另一方面，註釋說該等式遵循伊藤引理。事實上，我什至看到一些筆記說 $ dA_t d\psi_t=0 $ 因為伊藤引理。這些話真的讓我很困惑。
我希望我能更好地說明我的困惑。謝謝，
您當時已經給出了投資組合的價值 $ t $ 是
$$ \begin{equation} V_t=\phi_t S_t + \psi_t A_t \quad \cdots \cdots (1) \end{equation} $$ 在哪裡 $ \phi_t $ 和 $ \psi_t $ 分別表示在時間 t 在投資組合中持有的證券和現金賬戶的單位數量。 因此，投資組合的價值在時間 $ t+dt $ 將會
$$ V_{t+dt}=(\phi_t + d\phi_t)(S_t + dS_t) + (\psi_t + d\psi_t)(A_t+dA_t)\quad \cdots \cdots (2) $$ 在哪裡 $ d\phi_t $ 和 $ d\psi_t $ 是購買或出售的額外單位。求解方程（2）並從方程（2）中減去方程（1），你會得到 $$ V_{t+dt}-V_t = dVt = \phi_t dS_t+\psi_t dA_t+ S_t d\phi_t+A_t d\psi_t+dS_t d\phi_t+dA_t d\psi_t \quad\cdots (3) $$ 請記住，在自籌資金的投資組合中，沒有外生的注資或撤資；購買新資產必須通過出售舊資產來融資。所以， $ d\phi_t $ 和 $ d\psi_t $ 必須為零。所以方程中的最後四項將消失，並導致$$ dV_t= \phi_t dS_t+\psi_t dA_t $$ 這正是你講義中給出的內容。
讓 $ [X,Y]_t $ 是兩個過程的二次協變 $ X $ 和 $ Y $ 有時 $ t $ . 的實際確切含義 $ dXdY $ 是
$$ dXdY= d[X,Y]_t $$例如，布朗運動的二次協變 $ B_t $ 本身就是 $ t $ ， 所以$$ dB_t dB_t = d[B_t,B_t]_t=dt $$.