資金估值調整的簡單例子？
對於如何實際計算資金估值調整，我仍然有些困惑。因此，我正在尋找一個簡單的資金估值調整範例，最好是二項式或離散模型，盡可能在數學上明確定義術語。
有沒有人有這樣的例子來說明？
要討論資金估值調整(FVA)，首先需要描述需要進行此類調整的情況。在這裡，我們將以抵押品錯配為例，這是一種常見的情況。有關 FVA 和附帶錯配的概念處理，請參閱 Ruiz (2013)。
我們藉用了 Piterbarg (2010) 修改後的 Black-Scholes 框架。我們假設我們已經賣出了到期的歐洲衍生品 $ T $ 哪個值由 $ V(t) $ 有時 $ t $ 並且交易是有抵押的，這意味著我們與之交易的對手必須向我們質押一個有價值的抵押品 $ C(t) $ $ - $ 重要的是，我們在這裡不假設 $ V(t)=C(t) $ 因為這將消除對 FVA 的需要。我們對這個抵押品做了兩個假設：
- 一是可以再抵押；
- 其次，抵押品有一定的報酬 $ r_C(t) $ 有時 $ t $ $ - $ 速率可以是恆定的、確定的或隨機的。
我們交易的衍生品寫在標的資產上，價格由下式給出 $ S(t) $ 在 $ t $ , 這個價格遵循幾何布朗運動 (GBM) 動力學。最後，我們假設我們可以在無擔保的基礎上借款 $ - $ 即沒有抵押品 $ - $ 在一個速率 $ r_F(t) $ 這樣 $ r_F(t) \geq r_C(t) $ .
通過持有適當數量的標的資產和現金對沖衍生品，Piterbarg 表明其價值由下式給出：
$$ V(t) = \mathbb{E}_t\left[e^{-\int_t^Tr_C(u)du}V(T)\right]-\mathbb{E}_t\left[\int_t^Te^{-\int_t^ur_C(v)dv}(r_F(u)-r_C(u))(V(u)-C(u))du \right] $$ 在哪裡 $ \mathbb{E}_t[\cdot] $ 表示以 $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{F}_t $ $ - $ 即以市場資訊為條件的預期 $ t $ .
現在，通過指定 $ V_{\text{CSA}}(t) $ $ - $ 其中 CSA 代表信用支持附件 $ - $ 衍生品的價值，如果 $ C(t)=V(t) $ 對所有人 $ t $ 直到成熟，我們有：
$$ \begin{align} V(t) & = \underbrace{\mathbb{E}t\left[e^{-\int_t^Tr_C(u)du}V(T)\right]}{\text{CSA-value of derivative}}-\underbrace{\mathbb{E}t\left[\int_t^Te^{-\int_t^ur_C(v)dv}(r_F(u)-r_C(u))(V(u)-C(u))du \right]}{\text{FVA for collateral mismatch}} \[6pt] & = V_{\text{CSA}}(t)-\text{FVA}(t) \end{align} $$ 在這種情況下，由於衍生品的價值與交易對手必須隨時發布的抵押品之間的不匹配，我們需要（分別可以）借入（分別借出）兩者之間的差額 $ V(t) $ 和 $ C(t) $ ：這構成了資金估值成本（分別是資金估值收益）。
現在，為簡單起見，我們假設以下內容：
- 兩者的抵押率 $ r_C(t) $ 和無擔保融資利率 $ r_F(t) $ 對所有人都是恆定的 $ t $ ;
- 交易對手必須提供相當於一定部分的抵押品金額 $ p $ 衍生品的價值： $ C(t) = pV(t) $ .
然後可以重寫 FVA：
$$ \begin{align} \text{FVA}(t) & = (1-p)(r_F-r_C)\int_t^T\mathbb{E}t[e^{-r_Cu}V(u)]du \[6pt] & = (1-p)(r_F-r_C)\int_t^TV{\text{CSA}}(u)du \end{align} $$ 要計算 FVA，您需要導數在其生命週期內所有時間點的值。您會立即看到計算資金調整 $ - $ 以及一般情況下的任何估值調整，例如 CVA 或 DVA $ - $ 在計算上比計算售價要困難得多：作為衍生品的經銷商，您只需要當時的衍生品價格 $ 0 $ 當您實際將其出售給您的交易對手時，但要確定 FVA，您需要一系列未來時間的價格。這意味著銀行用來為衍生品定價的常用數值技術，例如蒙特卡羅方法或有限差分，不能應用於 FVA 問題，因為它們的計算成本太高。
在實踐中，一種常見的方法如下。您首先需要模擬您的潛在風險因素：在我們這裡的範例中，衍生品僅取決於資產 $ S(t) $ 因此你需要模擬 $ m $ 價格路徑 $ \omega_1,\cdots,\omega_m $ 從 $ 0 $ 至 $ T $ 在離散時間網格 $ 0=t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1} < t_n = T $ $ - $ 如果利率是隨機的，那麼您還需要模擬利率。在獲得底層證券的價格路徑樣本後，您可以進行如下操作：
- 向後工作，您首先記錄每個價格路徑 $ \omega_i $ , $ i \in {1,\cdots,m} $ , 衍生品的到期價值 $ t_n $ $ - $ 這是微不足道的，因為收益在到期時是已知的 $ - $ 我們將指定 $ v(\omega_i,t_n) $ ;
- 然後，您為每個價格路徑計算折扣值 $ v(\omega_i,t_{n-1}) $ 衍生品在前一個網格點的收益， $ t_{n-1} $ , 通過簡單地使用費率貼現 $ r_C $ :
$$ v(\omega_i,t_{n-1}) = e^{-r_C(t_n-t_{n-1})}v(\omega_i,t_n) $$ 3. 然後你假設值 $ v(\omega_i,t_n) $ 可以通過“簡單”函式可靠地近似 $ f_{n-1,n}(\cdot) $ ，例如多項式，應用於值 $ v(\omega_i,t_{n-1}) $ 並從模擬樣本中估計該函式 $ - $ 例如普通最小二乘法：
$$ v(\omega_i,t_n) \approx f_{n-1,n}(v(\omega_i,t_{n-1})) \qquad \text{(1)} $$ 4. 遞歸地重複步驟 1 到 3，直到到達目前時間並擁有一組簡單的定價函式 $ f_{0,1},f_{1,2},\cdots,f_{n-1,n} $ . 5. 讓我們指定 $ w_0 $ 對應於目前市場狀態的衍生品價值的價格路徑 $ - $ 即這樣 $ v(\omega_0,0)=v(S(0),0)=V_{\text{CSA}}(0) $ 可以通過解析公式或數值技術獲得。然後我們可以遞歸計算每個時間步的導數 $ t_1,\cdots,t_n $ :
- $ v(\omega_0,t_1)=f_{0,1}(v(\omega_0,0))=f_{0,1}(v(S(0),0))=f_{0,1}(V_{\text{CSA}}(0)) $ ;
- $ v(\omega_0,t_2)=f_{1,2}(v(\omega_0,t_1))=f_{1,2} \circ f_{0,1}(V_{\text{CSA}}(0)) $ ;
- 等等。
- 定義 $ \Delta_{j,j+1}=t_{j+1}-t_j $ 對所有人 $ j $ ，您現在可以使用以下公式計算 FVA：
$$ \begin{align} \text{FVA}(t) & = (1-p)(r_F-r_C)\int_t^TV_{\text{CSA}}(u)du \[6pt] & \approx (1-p)(r_F-r_C)\sum_{j=0}^{n-1}f_{j,j+1}(v(\omega_0,t_j))\Delta_{j,j+1} \qquad \text{(2)} \end{align} $$ 參考
Piterbarg, V. (2010)。“貼現以外的融資：抵押協議和衍生品定價”，風險
Ruiz, I. (2013)。“揭秘 FVA：CVA、DVA、FVA 及其相互作用（第一部分）”，iRuiz Consulting
Ruiz, I. (2014)。“FVA 計算和管理：CVA、DVA、FVA 及其相互作用（第二部分）”，iRuiz Consulting
$$ Edit 11/09/17 $$
請注意，上述過程對於粗略的時間網格可能存在問題：例如，如果時間步長為 $ 1 $ 年，今天的衍生品價格可能不能很好地預測衍生品的價值 $ 1 $ 年時間。
另一種方法如下：而不是預測衍生品的價格 $ t_{j+1} $ 從衍生品的價格 $ t_j $ ，我們可以預測衍生品的價格為 $ t_{j+1} $ 從基礎價格 $ t_{j+1} $ . 讓 $ S(\omega_i,t_j) $ 是資產在路徑上的模擬價格 $ \omega_i $ 有時 $ t_j $ , 方程 $ \text{(1)} $ 以上將替換為：
$$ v(\omega_i,t_j) \approx f_j\left(S(\omega_i,t_j)\right) $$ 因此方程 $ \text{(2)} $ 會成為：
$$ \begin{align} \text{FVA}(t) \approx (1-p)(r_F-r_C)\frac{1}{m’}\sum_{j=0}^n\sum_{i=0}^{m’}f_j(S(\omega_i,t_j))\Delta_{j,j+1} \end{align} $$ 在哪裡 $ S(\omega_i,t_0)=S(\omega_i,0)=S(0) $ 對所有人 $ i $ 和 $ (S(\omega_i,t_j){0\leq j\leq n}){0\leq i\leq m’} $ 是資產的新模擬樣本 $ S(t) $ .