資產回報手段是否因為沒有下限而難以預測？
在金融領域，眾所周知，資產收益的波動性（ $ \sigma $ ) 比資產回報的期望值 ( $ \mu $ ) ，也稱為平均回報或均值。
這是否部分是由於資產波動性被限制為正值（ $ \sigma \in (0,+\infty) $ )，而資產收益和均值可以採用負百分比值 ( $ \mu \in (-\infty,+\infty) $ )? 如果是這樣，為什麼變數的正有界性會使其估計更可靠且估計誤差更低？
為了回答，波動率比預期回報更容易預測的斷言需要澄清。“更容易預測”這句話特別模棱兩可。
對我來說，這意味著從收益樣本中估計波動率比在相對抽樣誤差的背景下估計預期收益更穩健。
假設在一段時間內 $ T $ 我們觀察資產價格 $ S_0,S_1, \ldots, S_N $ 在長度均勻的時間間隔內 $ \delta t $ 在哪裡 $ T = N \delta t $ . 假設日誌返回（在一個長度的間隔上 $ \delta t $ ) 具有穩定的分佈，並且在非重疊區間上的收益是獨立的。讓 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 分別表示年化平均收益和波動率。
這 $ \delta t $ -period log-return 具有預期值 $ \mu \delta t $ 和變異數 $ \sigma^2 \delta t $ , 其中 $ \delta t $ 變異數的縮放是獨立性的結果。我們現在有一個 iid 樣本 $ X_1,X_2,\ldots, X_N $ 在哪裡
$$ X_j = \log \frac{S_j}{S_{j-1}} $$
和預期回報和波動率的估計是
$$ \hat{\mu}\delta t = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N X_j, \quad \hat{\sigma}^2\delta t = \frac{1}{N-1}\sum_{j=1}^N (X_j - \hat{\mu}\delta t)^2 $$
漸近地，估計量的抽樣分佈是
$$ \hat{\mu}\delta t \sim \mathcal{N}(\mu \delta t, \sigma^2 \delta t/N),\quad \frac{(N-1) \hat{\sigma}^2 \delta t}{\sigma^2 \delta t} \sim \chi^2(N-1), $$ 也就是說，正常和卡方與 $ N-1 $ 自由度，分別。預期收益和波動率估計的標準誤分別為 $ \sigma\sqrt{\frac{\delta t}{N}} $ 和 $ \frac{\sqrt{2} \sigma^2 \delta t}{\sqrt{N-1}} $ .
正如預期的那樣，預期收益和波動率的絕對抽樣誤差（由標準誤差給出）減小為 $ 1/\sqrt{N} $ 作為樣本數 $ N $ 增加。
然而，相對錯誤講述了一個不同的故事。波動率的相對抽樣誤差為
$$ \frac{\frac{\sqrt{2} \sigma^2 \delta t}{\sqrt{N-1}}}{\sigma^2 \delta t} = \sqrt{\frac{2}{N-1}} $$
這表明相對誤差僅通過增加樣本數量即可得到改善。給定一個固定的時間段 $ T $ ，我們只需要以更高的頻率對收益進行採樣，以改進對波動率的估計。每日抽樣比每月抽樣更準確，每月抽樣比每季度抽樣更準確，等等。
另一方面，預期收益的相對抽樣誤差為
$$ \frac{\sigma \sqrt{\frac{\delta t}{N}}}{\mu \delta t} = \frac{\sigma}{\mu \sqrt{N \delta t}}= \frac{\sigma}{\mu \sqrt{T}} $$
獲得更好的預期回報估計的唯一方法是增加期間的長度 $ T $ 在其上觀察樣品。固定期限 $ T $ ，比如說 3 年，無論增加多少樣本，都無法通過增加採樣頻率來改善相對誤差。換句話說，為了將估計回報的準確性提高 5 倍，我們必須將抽樣週期延長 25 到 75 年——這顯然是有問題的。
這種現象的根本原因似乎是回報規模像 $ \delta t $ 和波動性，具有獨立的回報，規模如 $ \sqrt{\delta t} $ 關於測量週期 $ \delta t $ .