來自 logit 模型的需求曲線
是否可以從離散選擇多項式模型中推導出需求曲線。例如，logit 模型會給出購買每種商品的機率。但是我可以將其轉化為需求曲線嗎？
我們無法獲得通常意義上的“需求”，因為需求是一個隨機變數。我們可以做的“最好”是首先獲得個人需求的條件期望（以決定消費者是否會要求/購買的機率的變數為條件）。
假設消費者決定購買或不購買商品的單個（為簡單起見）項目的情況 $ A $ . 我們可以通過以下方式對這個底層實用程序框架進行建模
$$ u_i(A) = \alpha p_i+\mathbf x_i’\beta +e_i $$ 和 $ i $ 表示消費者， $ p_i $ 是消費者面臨的商品價格 $ i $ , $ \mathbf x_i $ 包含與案例相關的各種其他變數，以及 $ e_i $ 代表“隨機”偏好衝擊，假設遵循標準邏輯分佈，條件是 $ x $ 的。消費者將要求/購買， $ q^d_i=1 $ , 如果（按照慣例） $ u_i(A)>0 $ ，所以我們可以對購買的條件機率建模
$$ E(q_i^d =1\mid p, \mathbf x_i) = \Lambda(\alpha p_i+\mathbf x_i’\beta) $$ 那麼市場需求的條件期望為
$$ Q_d = \sum_{i=1}^nq^d_i = \sum_{i=1}^n\Lambda(\alpha p_i+\mathbf x_i’\beta) $$ 這仍然是一個隨機變數，並且具有未知參數。為了獲得一維的東西，給定一個大小的樣本 $ n $ 在 $ \mathbf x_i $ 以及相關交易（等等 $ p_i $ )，可以估計 $ \hat \alpha, ; \hat \beta $ ，以最大概似說。然後我們可以利用樣本均值得到“平均市場需求曲線”的一些概念 $ x $ 就像
$$ \hat Q_d(p,; \mathbf {\bar x}) = \sum_{i=1}^n\Lambda(\hat \alpha p+ \mathbf {\bar x’}\hat \beta) = n\cdot \Lambda(\hat \alpha p+ \mathbf {\bar x’}\hat \beta) $$ 這裡的價格 $ p $ 不再被索引，我們改變它以獲得曲線。
作為一個玩具數字範例，假設有 $ 100 $ 消費者，那 $ {\bar x’}\hat \beta =1 $ ， 和 $ \hat \alpha = -2 $ . 然後 $ \hat Q_d(p,; \mathbf {\bar x_i}) $ 看起來像
多項式邏輯
在多項 logit 中，我們檢查購買“這個或這個或這個”的選擇（互斥選擇 $ k=1,..,K $ ），我們最終得到（在通常的標準化之後）
$$ \hat E(q^d_{ik} \mid p_{ik}, \mathbf x_{ik}) = \frac {\exp{\hat \alpha p_{ik} + \mathbf x’{ik}\hat \beta}}{1+\sum{k=2}^K\exp{\hat \alpha p_{ik} + \mathbf x’_{ik}\hat \beta}} $$ 那麼我們可以得到 $ K $ 要求（每個都以其餘為條件）使用（例如，永遠 $ 1 $ )
$$ \hat Q^{(1)}d(p_1) = \frac {n\cdot \exp{\hat \alpha p_1 + \mathbf {\bar x}{1}’\hat \beta}}{1 + \sum_{k=2}^{K}\exp{\hat \alpha \bar p_{k} + \mathbf {\bar x}_k’\hat \beta}} $$ 請注意，這裡我們還必須平均其他商品的價格。
