個人的需求函式描述了什麼？
現在，這似乎是一個超級簡單直接的問題，對吧？來自維基百科：
需求曲線是描繪某種商品的價格與消費者願意並能夠在該給定價格下購買的數量之間關係的圖表。
對我來說，這讀作如下：對於個人，需求函式回答，對於所有值 $ p $ ，問題：“如果價格是 $ p $ 每單位，多少單位 $ q(p) $ 個人會買嗎？”
舉個例子，讓我們考慮一下我的個人需求曲線 $ q = 10-p $ 為了某種利益。我也會按照上面的定義解釋如下：如果價格是 10 個/單位或更多，我什麼也不買。如果是 7 個/單元，我會購買 3 個單元。
這裡的重點是，這似乎意味著，我將為 3 個單元中的每一個支付 7 個/單元。**那是對的嗎？**如果我面臨必須為前 2 個單位支付更多費用的情況，情況會有所不同。在這種情況下，我可能會決定購買少於 3 個單位。而且我不會與我的需求函式相矛盾。至少，不是，如果它是我解釋的定義。
替代方案：用以下方式解釋需求函式似乎不太接近文本，但對數學來說更方便。需求函式回答，對於所有的值 $ q $ ，問題：“如果一個人已經擁有 $ q-1 $ 單位，他願意為單位支付多少 $ q(p) $ ?”（或者，作為一個整體，“如果一個人已經有一個金額 $ q $ , 多少錢 $ p(q) $ 和……一起 $ p(q)dq $ 他願意為額外金額支付的金額 $ dq $ ？”）。
謝謝！
在與坤的討論中，我們似乎找到了一個令人滿意的答案。
TL; DR：正如我在問題的最後一段中所建議的那樣。
長答案：
對於可以在幾分鐘內查找的問題，這變得有點矯枉過正，但這是一個有趣的練習，看看我們是否可以自己找到正確的答案。
我們想再次完成什麼？
我們有
- 無限可分的好東西
- 具有需求函式的消費者 $ q = Q(p) $ 對於這種商品，具有相應的逆需求函式 $ p=P(q) $ . 這些由曲線（需求曲線）描述 $ q,p $ -飛機。
我們試圖確定一個點 $ (q,p) $ 在需求曲線上描述
- A. 單價 $ p $ 消費者願意為每單位的總數量支付 $ q $ ， 或者
- B. 單價 $ p $ 消費者願意支付額外的金額 $ \text{d}q $ , 給定擁有 $ q $ 單位。
讓我們的論點是後者，讓我們看看我們是否遇到了矛盾。
消費者剩餘
讓我們用簡單的直線 $ p+q=25 $ ，其中 5 的恆定單價規定了 20 的需求：
需求曲線之間的面積， $ p=5 $ 和 $ q=0 $ , 稱為消費者剩餘 CS，我們可以通過積分來計算：
$$ \int_5^\infty Q(p)~\text{d}p=\int_5^{25} (25-p)~\text{d}p $$ 這與 $$ \int_0^{20} (P(q)-5)~\text{d}q=\int_0^{20} \big((25-q)-5\big)~\text{d}q $$ 後者表明，該區域可能被解釋為消費者願意支付的費用和他正在支付的費用之間的差異——至少，如果我們的論點是有效的並且解釋 (b) 成立的話。 我們發現這種情況下的 CS 是 200。
我們的論文可以幫助解釋這一點。如果價格為 5，則消費者繼續購買，直到他可以購買的額外數量不會帶來 5 的額外效用。這恰好是數量為 20。因為他能夠以5 的價格購買所有單位，這代表了一個優勢：當他仍然擁有更少的單位時，他會為額外的單位支付更多的費用。例如，當他仍然只有 15 個單位時，他會為每單位支付 10 個額外數量。
總支付意願
為某個數量支付 TWTP 的總意願 $ q $ （即該數量的最高可接受價格）可以計算為對每個後續單位的支付意願之和，直到 $ q $ （即，額外單位的最高可接受單價）：
$$ TWTP(q) = \int_0^{q} WTP(q’)~\text{d}q’ $$ 因此，為了計算我們的買家最多會為這 20 個單位支付多少（總共），我們必須添加每個單位的最高價格。如果我們的論點是正確的並且解釋（b）成立，這正是逆需求函式 $ P $ ， 以便
$$ TWTP = \int_0^{20} P(q’)~\text{d}q’ $$ 在我們的例子中，購買 20 個單位的總支付意願恰好是 300。 現在，在正常情況下，買方不需要為20 個單位支付該金額，而是 $ 5\cdot20=100 $ . 兩者的區別是CS為200。這是上面的區域 $ p=5 $ 線，這是我們所期望的。
如果我們有完美的價格歧視，商品的賣方會知道買方的需求曲線，並以他願意支付的最高價格向他出售每單位商品；隨著買方的邊際效用逐漸降低價格： $ p=25-q $ . 這樣，賣方就能夠獲得所有的 CS，因此買方將為 20 個單位支付 300 元。
如果我們的論文是錯的
只有當我們的論點是正確的並且逆需求函式時，這種解釋才有效 $ P $ 描述了為每增加一個單位支付的意願。如果它描述了為那個和所有以前的單位支付每單位的意願，即解釋（a），事情就不同了。在這種情況下，TWTP 為 $ q $ 單位只是乘以 $ q $ 和 $ P(q) $ :
$$ TWTP(q) = q\cdot P(q) $$ 為了弄清楚在非統一定價下會購買多少，我們需要找到為每個單位支付的意願。從第一個方程可以看出，WTP 是 TWTP 的導數，因此，在這種情況下： $$ WTP(q)=\frac{\text{d}}{\text{d}q}qP(q)=\frac{\text{d}}{\text{d}q}(25q-q^2)=25-2q $$ 因此，與以前一樣，第一個數量以 25 的單價出售。這是有道理的，因為買方還沒有任何單位，所以邊際價格等於平均價格。然而，在完美的價格歧視下，商品價格下降的速度應該是我們之前計算的兩倍。這是因為附加單元 $ \text{d}q $ ，即賣方試圖出售的，其邊際效用不是由其價格（如解釋（b）中的情況）給出的，而是由總價格的增加給出的。1 此外，在這種情況下，賣方以 5 的價格出售他的最後一個單位，此時他僅售出 10 個單位（如果解釋 (b) 正確，則為 20 個單位）。買家隨後花費 $ \int_0^{10} (25-2q)~\text{d}q=150 $ ，這是他的 TWTP，但為 10 個單位。這也是有道理的：需求曲線規定了最大可接受的（平均）單價 15 - 這正是支付的價格。 我們在任何地方都看不到的是 200 的數字，它是上面的區域 $ p=5 $ 線。事實上，在解釋 (b) 的情況下為 200 的消費者剩餘在解釋 (a) 的情況下實際上是 0 - 僅僅是因為逆需求函式被定義為最大平均單價的方式：如果我們有一個統一的價格，價格就是平均價格，只要購買者的支付意願高於價格，他就會有購買更多的動力。確切地說，當他購買數量 $ q $ 在他的需求曲線上，對應於出價 $ p $ , 是他願意支付的平均價格，等於出價。因為他願意支付的平均價格乘以數量，就是他願意為該數量支付的總價格，並且因為這也等於他在曲線中的那個點支付的價格，所以他的 CS 為 0 。
結論
為了對需求曲線之間的區域有一個合理的解釋， $ p=5 $ 和 $ q=0 $ ，稱為消費者剩餘 CS，我們需要將逆需求函式解釋為：“單位價格 $ p $ 消費者願意支付額外的金額 $ \text{d}q $ , 給定擁有 $ q $ 單位”(b)。通常將(a)解釋為“單位價格” $ p $ 消費者願意為每單位的總數量支付 $ q $ ”是不正確的。但是，很容易看出為什麼它經常被這樣解釋。首先，它是一種更簡單的解釋，更容易視覺化，其次，在日常情況下——它們都有統一的定價——它仍然可以預測要交易的正確數量。
腳註：
1：這為我們提供了另一種方法來得出公式。考慮購買一定數量的買方 $ q $ 當每單位的平均價格為 $ P(q) $ . 當他購買數量 $ q+\text{d}q $ 當單價為 $ P(q+\text{d}q) $ , 總成本增加 $ P(q+\text{d}q) - P(q) $ ，這意味著這是附加單元的效用 $ \text{d}q $ . 所以，每單位的邊際效用是 $ \frac{(q+\text{d}q)\cdot P(q+\text{d}q)-q\cdot P(q)}{\text{d}q} $ . 使用逆需求函式 $ P(q)=25-q $ ，事實證明這是 $ 25-2q $ .
需求函式沒有說明他願意為額外的 dq 支付多少。需求函式說：給定商品的價格是 $ p $ , 你會購買 $ Q(p) $ 其中。我認為您的困惑在於可以對每個商品單位收取不同的價格。請注意，我們的理論是假設一個價格，而不是多個價格。
此外，消費者剩餘衡量您支付的金額與您願意支付的金額之間的差異的觀點是完全錯誤的。假設需求函式是 $ Q(p)=-5p+100 $ . 進一步假設價格為 $ 5 $ , 所以你會購買一個數量 $ 75 $ . 消費者剩餘為：
$$ CS=\int_0^5Q(p)dp=\int_0^5 -5p+100dp=562.5. $$如果將其解釋為您支付的金額與您願意支付的金額之間的差額，我們知道您願意支付 $ 562.5+5\times75=937.5 $ 為了 $ 75 $ 他們的單位。換句話說，你願意接受一個價格 $ 937.5/75=12.5 $ . 然而，將這個數字代入我們的需求函式，我們發現 $ Q(12.5)=37.5 $ ，即您只願意購買 37.5 單位的商品，這顯然與我們對消費者剩餘的解釋相矛盾。 為了更好地處理消費者剩餘，我建議您查閱有關微觀經濟學理論的高級書籍，例如 Mas-Colell 或 Varian 的更高級的書。