求解利潤函式圓周率(w,p)圓周率(在,p)pi (w,p)給定生產函式的輸出F（與)=2和1+3和2−−−−−−−−√F(和)=2和1+3和2f(z) = sqrt{2z_1 + 3z_2}
求解利潤函式 $ \pi (w,p) $ 給定產出生產函式 $ f(z) = \sqrt{2z_1 + 3z_2} $ .
我試圖解決這個問題 $ p\nabla f(z) = w $ . 這源於為利潤最大化問題設置拉格朗日， $$ \begin{align*} \text{maximize } &pf(z)-w^Tz\\ \Rightarrow \mathcal{L}(z) &= pf(z) -w^Tz \end{align*} $$ 然後將拉格朗日的部分歸零， $$ \begin{align*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 0 = p\nabla f(z) - w\ \Rightarrow p\nabla f(z) = w. \end{align*} $$ 問題是，我認為我可以解決一個最佳問題 $ z^* $ ，但這似乎不可能，但我知道存在解決方案。
為了簡單地展示這個問題，讓 $ q=f(z) $ ，則梯度為： $$ \begin{align} \nabla f(z) = \begin{bmatrix} 1/q\ 3/2q \end{bmatrix} \end{align} $$ 所以求解我們的方程 $ p\nabla f(z) = w $ ，應該讓我們解決 $ z_1,z_2 $ ，但正如你所見， $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} 1/q\ 3/2q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1/p\ w_2/p \end{bmatrix}\ \Rightarrow \begin{bmatrix} q\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p/w_1\ 3p/2w_2 \end{bmatrix}\ \Rightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{2z_1 + 3z_2}\ \sqrt{2z_1 + 3z_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p/w_1\ 3p/2w_2 \end{bmatrix} \end{align*} $$ 這表明我無法隔離 $ z_1 $ 或者 $ z_2 $ . 沒有最優 $ z^=<z_1^,z_2^> $ , 我找不到我的利潤函式 $ \pi(w,p) = pf(z^) - w^Tz^* $ .
編輯 我的猜測是，實際上，對於某些輸出 $ q $ ，我的利潤函式是我已經解決的， $ \pi(w,p)=\max{{pw_1, 3p/2w_2}} $
誰能證實這一點？
生產函式有一個特點：投入是完全可替代的。一個單位的投入 1 可以用 2/3 的投入 2 代替，以產生相同數量的產出。
直覺地說，生產者最好只使用一種輸出來生產。假設生產計劃是 $ (z_1,z_2) $ . 通過選擇 $ (z_1-1,z_2+2/3) $ ，企業生產相同的數量，但利潤增加 $ w_1-2/3w_2 $ . 我們可以得出結論：生產者只會購買投入 1 ( $ z_2=0 $ ） 如果 $ w_1<2w_2/3 $ , 他們只會購買輸入 2 ( $ z_1=0 $ ） 如果 $ w_1>2w_2/3 $ . 從那時起，您可以通過區分這兩種情況來解決最大化問題。
如果添加約束，該問題也可以作為約束優化問題來解決 $ z_1\geq 0 $ 和 $ z_2\geq 0 $ 到拉格朗日。如果 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 表示這兩個約束的拉格朗日參數，當 i) $ \lambda_1=0 $ ii) $ \lambda_2=0 $ .