了解供給規律
在高中時，我從來沒有真正質疑過供給法則，認為它是理所當然的。
當我在大學開始經濟學入門課程，“重新學習”經濟學的基礎知識時，我意識到我遇到了一些困難，試圖真正理解一個基本概念：供給定律。我在這裡搜尋了與此相關的類似問題，但沒有一個能解決我的問題的具體性質。
我最初對價格和供應量之間的直接聯繫感到困惑，我的教科書指出，在更高的價格下，生產者會發現生產更多產品更有利可圖，因此會這樣做。在本文的這一點上，MC、MR、成本曲線等的概念還有幾章，我現在對它們有點一無所知，但如果需要，請隨時在你的解釋中使用它——我知道最終，邊際成本與此有關，但我不確定是什麼（我忘記了大部分高中的東西）。
我想一個關鍵問題是：如果生產更多，那么生產的總成本也會增加，而且提供更多數量可能並不總是更有利可圖，這與我的教科書所說的不同。那麼供給曲線是否已經說明了這一點？即在每一點上，所賺取的收入肯定會超過成本？我們怎麼能假設這一點？
有趣的是，我實際上可以通過先查看 x 軸（數量）（這是一種有效的方法）然後查看 y 軸（價格）來讀取供應曲線上的值來理解它，即如果生產商要供應更多，他們將需要更多的收入來支付更高的生產成本，以實現持續的利潤（最好增加利潤，也許相同數量 - 但在這一點上不太重要）。
事實上，我更喜歡這種“倒置”的供給規律。當我試圖“重新反轉”這一點以試圖理解實際的供給規律時，價格變化是原因，供應量是結果，我再次感到困惑。希望有人能解釋這究竟是如何工作的，最好是與“倒置”供給定律的解釋有關。
還想知道是否有對此的“數學證明”——那太好了，儘管它背後的直覺最好還是用簡單明了的語言來解釋。
正如您正確指出的那樣，它與成本有關。這裡重要的一點是**生產額外單位的成本，**而不是平均成本。
讓我舉個例子。假設您是一家麵包店的老闆，並且您有一名員工在工作 $ 8 $ 小時和生產 $ 8 $ 每天吃麵包（ $ 1 $ 麵包一個小時）。假設你必須支付你的員工 $ $1 $ 第一個小時 $ 8 $ 小時和 $ $1.50 $ （加班）每增加一小時（之後 $ 8 $ 小時），然後您以 $ $1.20 $ .
有一天你會想：為什麼不生產和銷售 $ 9 $ 麵包（您的想法與您的問題相同）？然後，你意識到為了產生 $ 9 $ 麵包，您需要讓您的員工額外工作一個小時並且必須支付加班費，即 $ $1.5 $ 為了 $ 9 $ 小時。但是，您仍然會出售 $ 9 $ 麵包 $ $1.20 $ , 這意味著你會輸 $ $0.30 $ 從生產和銷售 $ 9 $ 麵包。
假設麵包的價格上漲到 $ $1.60 $ . 現在，您肯定想留住您的員工 $ 9 $ th 小時（甚至更多），因為每生產一個額外的麵包（之後 $ 8 $ 麵包），你會做 $ $0.10 $ 每個麵包的利潤。因此，您可以看到價格上漲導致您供應更多。
假設一家利潤最大化但接受價格的公司。它解決了
$$ max_q {pq - c(q)} $$
一階條件是
$$ q^: p=c’(q^) $$ 這將是一個全域最大值，如果 $ c’’>0 $ （凸的，即加速成本）
反相
$$ q^* = (c’)^{-1}(p) $$
最後一個等式是單個企業的供給曲線，即每個價格水平上的利潤最大化數量（我們可以假設存在一個如此低的價格，以至於最大利潤為負，因此從長遠來看，產量將為零。但我們主要關注價格上漲時會發生什麼）。
第一個問題是，既然我們已經假設隨著數量的增加成本會加速，那麼我們有什麼保證利潤將保持正數並在高價位上漲？
利潤函式為
$$ \pi = pq^* - c(q^*) = p\cdot [(c’)^{-1}(p)] - c[(c’)^{-1}(p)] $$
我們想要正的和不斷增長的利潤，即
$$ \pi > 0 ,;;; \frac{\partial\pi}{\partial p} > 0 $$
但是如果我們有 $ \frac{\partial\pi}{\partial p} > 0 $ 獲得最大利潤為正的單一價格水平就足夠了，然後我們知道它們對於任何更高的價格水平都是正的。但如果沒有最大利潤為正的價格水平，市場就不會存在。因此，讓我們專注於導數計算。
它看起來很複雜，但實際上並沒有那麼複雜。這是因為
$$ \frac{\partial\pi}{\partial p} = \frac {\partial}{\partial p}\big(pq^* - c(q^*)\big) $$
$$ = q^* + p\frac{\partial q^}{\partial p} - c’(q^)\cdot \frac{\partial q^*}{\partial p} $$
$$ =q^* +[p-c’(q^)]\cdot \frac{\partial q^}{\partial p} $$
但利潤函式始終以利潤最大化關係為特徵 $ p=c’(q^*) $ ，所以我們得出結論
$$ \frac{\partial\pi}{\partial p} = q^*>0 $$
所以我們知道，隨著價格上漲，接受價格的供應商可以通過遵循“數量使得邊際成本等於價格”的規則來增加她的利潤。
但這是否意味著最大利潤會隨著數量的增加而增加，這是我們想要證明的？
我們意識到，為此我們還需要證明 $ \frac{\partial q^*}{\partial p}>0 $
這裡我們需要應用反函式定理。成本函式的一些數學屬性將確保 $ (c’)^{-1}(p) = (c^{-1})’(p) $ 進而
$$ \frac{\partial q^*}{\partial p} = \frac{\partial (c’)^{-1}(p)}{\partial p)} = \frac{\partial (c^{-1})’(p)}{\partial p} = \frac {1}{c’’(p)} >0 $$
我們剛剛獲得了“供給定律”（向上傾斜的供給曲線）。
我們看到，加速成本不僅不會給供給定律帶來麻煩，相反，它保證了供給定律的成立。直覺地說，由於生產者必須設定數量以使邊際成本等於價格，如果價格上漲，那么生產將處於邊際成本高於以前的水平。因此，如果成本在數量上加速（正二階導數），這將在更高的產出水平下實現。
注意：注意標題“供給法則”也用於薩伊定律。
附錄
在生產函式和價格接受行為的規模報酬不變的情況下，我們知道成本是線性的，即邊際成本是恆定的，並且 $ c’’=0 $ . 在這種情況下，“供給法則”的辯護方式如下：由於利潤最大化問題現在沒有明確定義，每個企業的規模都是不確定的。然後我們呼叫，雖然沒有明確建模，尺寸約束（這是合理的）。那麼更高的價格表明需求量超過了供給量，並且由於規模限制，目前的公司將無法滿足過剩的需求。這將促使新公司進入市場，因此總供給量將增加。