線性供需平衡可以理解為回饋控製過程嗎？
我不是經濟學家，而是從事控制理論工作的應用數學家。我最近一直在觀看伯克利在個人項目中的經濟課程介紹，以更好地了解經濟學和金融學。前幾節課是關於線性供需曲線以及它們如何產生價格均衡。
也就是說，假設 $ \sigma(p) $ 和 $ \delta(p) $ 以及按價格供給和需求的數量 $ p $ 分別 那麼線性假設意味著
$$ \sigma(p) = S_\sigma p+\sigma_0,\ \ \delta(p) = -S_\delta p+\delta_0 $$ （這是我的符號）。號碼 $ S_{\sigma,\delta} $ , $ \delta_0,\sigma_0 $ 被假定為正並對應於斜率（我認為在經濟學術語中稱為“彈性”）和截距，我將其解釋為供求量 $ p = 0 $ （例如，如果商品是免費的，人們願意提供或要求多少）。顯然我們假設 $ p \geq 0 $ .
當供需相等時，平衡就達到了—— $ \delta = \sigma $ –並給出均衡價格
$$ p_e = \frac{\delta_0-\sigma_0}{S_\delta+S_\sigma}. $$ 這對一個真正的經濟學家來說是微不足道的。
現在到有趣的部分：
通過講師解釋失衡的價格如何最終達到均衡，我認識到了回饋的基本思想：價格的變化是由供需之間的有*符號差異所推動的。*我建議這是由等式建模的
$$ \dot{p} = k(\delta-\sigma), $$ 或者確切地說是回饋控制律（ $ P $ -控制器）具有回饋增益 $ k $ . 此外，由於我們假設供給和需求曲線是線性的，所以整個方程現在是一個線性微分方程
$$ \dot{p} = k(\delta_0-\sigma_0)-k(S_\delta+S_\sigma)p. $$ 平衡發生在 $ \dot{p} = 0 $ 並且與使用圖解法獲得的相同。
但是等等——還有更多！由於我們現在有一個微分方程，我們可以得到一個時域解：
$$ p(t) = e^{-t/\tau}p_i+p_e(1-e^{-t/\tau}) $$ 這裡 $ p_i $ 是初始（失衡）價格， $ \tau = \frac{1}{k(S_\delta+S_\sigma)} $ ， 和 $ p_e $ 是均衡價格。 這意味著我們不僅可以預測均衡價格將是多少，而且我們還可以在理解的前提下 $ k $ ，預測達到平衡所需的時間。事實上，這個方程的形式意味著平衡是漸近的（ $ p_e = p(t= \infty) $ ) 和百分比–63%、86%、95% 等 $ t/\tau = 1,2,3, $ 等等——將獲得平衡。 $ t/\tau = 6 $ 是實際均衡（99.8%）的一個很好的近似值，所以我們有能力說明最初的價格需要多長時間 $ p_i $ 定居 $ p_e $ （稱這個 $ t_e $ ，“平衡時間”）
$$ t_e \approx \frac{6}{k(S_\delta+S_\sigma)}. $$ 關於的想法 $ k $
那麼什麼是 $ k $ 真的嗎？簡短的回答是我不知道。從數學上講，這是一種回饋增益，但這並不是真的很有幫助。
它的價格單位/（數量 $ \cdot $ 時間），所以我把它分為兩個因素 $ k = f_t/S_X $ . 我想 $ f_t $ 是商品進行交易的頻率。交易頻率較低的商品比交易頻率高的商品更慢地達到均衡是有道理的。 $ S_X $ 有單位 $ S_{\delta,\sigma} $ 但我沒有很好的解釋。我考慮過我們可能有 $ S_X \approx S_\delta + S_\sigma $ 生產 $ \tau \approx 1/f_t $ 但沒有比這更遠了。
底線
我想我發現了一個有趣的供需動態解釋，它可以根據控制理論原理，即比例回饋。不幸的是，我對經濟學一竅不通，不知道這是否是我應該追求的富有成果的探究路線，或者我是否剛剛重建了一個長期存在的理論。
任何人都可以幫助提供一些背景資訊嗎？
我認為目前建構的這可能存在問題：
$ \delta(p)= \infty $ , $ \forall P \in \mathbb{R_+} $ 和 $ P_e = \infty =\dot{p}, $ $ \forall P \in \mathbb{R_+} $ 這是因為 $ \delta_0 = \infty $ . 更遠， $ \sigma(p) = S_\sigma p+\sigma_0= S_\sigma p $ 自從 $ \sigma_0 = 0 $ .
換句話說，只要 P 為 0，對任何正常商品的需求都應該是無限的，而當 P 為 0 時，任何商品的供應都應該是零。
也就是說，你的直覺是可靠的，但我確實認為你正在努力重新發明 tatonement 輪。簡而言之，Tatonement 在需求過剩時調整價格，在供應過剩時調整價格。
如果你在網上看了幾堂課後能夠做到這一點，那麼我說繼續。一旦您對該領域有了更好的了解，您就可以做出有意義的貢獻。
編輯：如果您想私下給我發消息，我會非常樂意傳遞我的研究生筆記/材料以幫助指導您的學習。至少，我建議您通過一些更高級的微觀理論課程來跟進您目前的學習。
正如理論經濟學家在他的評論中所說，這個過程被稱為 Walrasian tatonnement。 這里和這裡是該文獻中的兩個引文。首先閱讀它們及其參考文獻，然後使用 SSCI 在文獻中來回走動。
我（有點模糊）的回憶是，在這篇文獻的某個地方，是一個負面結果，基本上是說除非在非常嚴格的需求假設下（比如沒有收入效應），否則無法證明 tatonnement 收斂到均衡。
有關於蛛網定理的相關文獻。 這是最近的一篇論文，其中包含一個簡短的點燃評論。您可以在 SSCI 或 EconLit 中搜尋 Cobbweb Theorem 以了解該文獻。
但是，您的問題的答案是您的見解似乎不是原創的。價格理論市場如何達到均衡的問題已經過時了，您提出的解決方案（在需求過剩的市場上調整價格，在供應過剩的市場上調整價格）已被廣泛研究。