邊際收入可以增加嗎？
根據我的計算，MR 曲線的導數由下式給出： $ MR’(q)=2p’(q)+qp’’(q) $ ， 在哪裡 $ p(q) $ 是逆需求曲線。因此，對於向下傾斜的需求曲線，如果二階導數很大且為正，則 MR 實際上應該是增加的。然而，直覺地說，如果需求下降，那麼邊際收益也應該下降，而且下降幅度大於需求。兩者似乎不匹配，這是我關心的問題。
邊際收益增加是完全一致的 $ q $ ，即使需求曲線減小。
邊際收益為 $$ p(q)+ q p’(q). $$
- 第一個條款說“如果我賣出一個額外的單位，那麼我將收到一個額外的 $ p $ 收入”。這種影響越大，MR 就越高。
- 第二個條款說：“為了多賣一個單位，我必須將我的價格降低 $ p’(q) $ ，這意味著每個人的收入要少得多 $ q $ 無論如何我都會賣掉的單位”。這種效果越大，MR就越低。
如果 $ p’’(q)>0 $ 這意味著當我們沿著需求曲線向下移動時，出售額外單位所需的降價（上面的第二個效應）會變小。所以邊際收益的負部分減少了，這會導致邊際收益整體增加。
**注 1：**雖然邊際收益函式可以增加，但它永遠不會超過需求曲線。事實上，從上面的表達式中我們看到，邊際收益在任何時候都嚴格低於需求曲線 $ p’(q)<0 $ .
**注 2（技術性稍強）：**邊際收入增加的可能性意味著利潤最大化問題的解決方案可能具有非唯一性（即使邊際成本不變）。這是因為可能不止一個點 MR=MC，如下圖所示（這個圖是用需求函式生成的 $ p(q)=1-q+3q^2-3q^3 $ ):
我們只需要考慮 MR=MC 和 MR 下降的點（圖中 MR 增加的點是利潤的局部最小值，而不是局部最大值）。另外兩個都是局部最大值，但通常只有一個是全域利潤最大化點。
由於處理存在多個潛在解決方案的情況很麻煩，人們經常做出假設以保證唯一的解決方案。一個這樣的假設是“需求是對數的”，意思是 $ ln(p(q)) $ 是凹的。讓我們看看為什麼會這樣。需求是對數凹的，如果
$$ \frac{d^2\ln(p(q))}{dq^2}<0 $$ $$ \frac{p’’(q)}{p(q)}-\frac{p’(q)^2}{p(q)^2}<0 $$ 所以如果需求是對數凹的，我們知道 $$ p’’(q)<\frac{p’(q)^2}{p(q)}. $$
我們可以使用此資訊來查看我們可以使您計算的 MR 曲線的導數有多大： $$ \frac{d MR}{dq}=2p’(q)+qp’’(q)\leq 2p’(q)+q\frac{p’(q)^2}{p(q)}. $$ 這可以是積極的嗎？答案是肯定的，如果 $$ 2p’(q)+q\frac{p’(q)^2}{p(q)}>0 $$ 即如果 $$ 2p(q)+qp’(q)=MR+p(q)<0. $$ （在最後一行我改變了不等式的方向，因為我除以 $ p’ $ ，這是負數）。
我們發現，給定對數凹需求， $ \frac{d MR}{dq} $ 只有當 $ MR<0 $ . 因此，邊際收益曲線永遠不會在公司考慮選擇的區域內向上傾斜。
