對數函式的一般一階條件及解釋
下面，計算對數函式的一階條件。
我知道左側部分是如何計算的，但是，在沒有進一步了解 N 的具體功能的情況下，我有點困惑右側站點上的 gamma 來自哪裡。有人可以解釋一下嗎？
為什麼可以將這些發現解釋為彈性？
資訊：R(a) 是依賴於廣告級別 a 的平台 i 的廣告收入。N 是取決於平台 i 和其他平台 -i 的廣告滋擾的觀眾數量。最大化問題是選擇最優的廣告級別 a。
它只是來自利潤函式的導數。我假設 $ a_i $ 是這裡的選擇變數，所以導數 $ \pi $ 寫 $ a_i $ 是（一步一步）：
$$ \frac{\partial \pi}{ \partial a_i} = \frac{\partial \pi}{ \partial a_i} [ \ln R(a_i) ] + \frac{\partial \pi}{ \partial a_i} [ \ln N_i(\gamma a_i, \gamma a_{-i}) ] \ = \frac{1}{ R(a_i)} R’(a_i) + \frac{1}{ N_i(\gamma a_i, \gamma a_{-i})} N_i’(\gamma a_i, \gamma a_{-i}) \gamma $$
由於鍊式法則，最後的伽馬會彈出。如果你有 $ G(H(F(x))) $ 然後 $ \frac{dG}{dx} = \frac{dG}{dH} \frac{dH}{dF}\frac{dF}{dx} $ . 你只需要意識到 $ \gamma a_i = F(a_i) $ .
最後，要導出 FOC，您只需將上面的最後一個等式設置為零，您就可以：
$$ \frac{1}{ R(a_i)} R’(a_i) + \frac{1}{ N_i(\gamma a_i, \gamma a_{-i})} N_i’(\gamma a_i, \gamma a_{-i}) \gamma = 0 \ \frac{ R’(a_i)}{ R(a_i)} = - \gamma \frac{ N_i’(\gamma a_i, \gamma a_{-i})}{ N_i(\gamma a_i, \gamma a_{-i})} $$
綜上所述， $ -\gamma $ 是不是因為鍊式規則，這裡除了取導數之外沒有什麼特別的。
PS：我剛剛意識到我忘了解釋為什麼您可以將它們解釋為彈性，但是 Herr K. 的出色 +1 答案已經這樣做了，所以我不會在這裡不必要地重複它。