生存與非生存 Marshall-Olkin copula 的關係
讓我們有兩個隨機變數 $ A $ 和 $ B $ 表示系統的兩個元素的壽命，其中 $ A $ 有 cdf $ F_A(x) $ , $ A \sim Exp(\lambda_1 + \lambda_{12}) $ 和 $ B $ 有 cdf $ F_B(y) $ , $ B \sim Exp(\lambda_2 + \lambda_{12}) $ , 與聯合 cdf $ H(x,y) $ .
Marshall-Olkin copula 被定義為生存 copula
$$ \bar{H}(x,y) = C_{\theta_A, \theta_B}(u,v) = \min (u^{1-\theta_A}v, uv^{1-\theta_B}) $$ 在哪裡
$$ \theta_A = \frac{\lambda_{12}}{\lambda_1+\lambda_{12}} \text{ and } \theta_B = \frac{\lambda_{12}}{\lambda_2+\lambda_{12}} $$ $$ u = \bar{F_A}(x) = 1 - F_A(x) \text{ and }v = \bar{F_B}(y) = 1- F_B(y) $$ 非生存 Marshall-Olkin copula 的公式是什麼 $ u = F_A(x) $ 和 $ v=F_B(y) $ ?
請注意，生存 copula $ C_{\theta_A, \theta_B}(u, v) $ 和非生存係詞 $ C(u, v) $ 與
$$ \begin{align*} C_{\theta_A, \theta_B}(\hat{u}, \hat{v}) = \hat{u}+\hat{v}-1 + C(1-\hat{u}, 1-\hat{v}), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \hat{u}=\bar{F}_A(x)=1 - F_A(x) $ 和 $ \hat{v}=\bar{F}B(y)=1-F_B(y) $ . 然後， $$ \begin{align*} C(u, v) = C{\theta_A, \theta_B}(1-u, 1-v) + u+v-1, \end{align*} $$ 在哪裡 $ u=F_A(x) $ 和 $ v=F_B(y) $ .