轉換矩陣的縮放
我正在研究一個評級轉換矩陣，我想知道人們如何將其縮小到更短的時間段（儘管我應該或多或少地堅持我知道的估計期）。
很明顯，可以通過反復將矩陣與自身相乘來將其縮放到更長的時間段。
您如何將矩陣縮小為每月轉換矩陣？
我在可逆馬爾可夫鏈上找到了一個結果，並想到了以下幾點：
讓 $ M $ 是可逆馬爾可夫鏈的轉移矩陣，則可以將其分解為
$$ M = S D $$ 具有對稱矩陣 $ S $ 和一個對角矩陣 $ D $ . 看來反之亦然。
現在，如果我們有一個可逆的馬爾可夫鏈，我們可以通過對 $ S = E^{T}\Lambda E $ 並提高 $ S $ 也 $ D $ 到適當的權力。
所以我們定義
$$ \bar{M}:= E^T \Lambda^{\frac{1}{n}}E D^{\frac{1}{n}} $$然後說 $ \bar{M} $ 就是現在 $ M^{\frac{1}{n}} $ . 問題是：這種方式合適嗎？它有什麼意義嗎（從數學的角度來看——我知道縮小轉換矩陣是值得商榷的）？評級轉移矩陣是否來自 可逆馬爾可夫鏈？
主要問題是：將評級轉移矩陣提高到分數的常用方法是什麼？
你是對的，時間尺度 T 年轉換矩陣的規則 $ M_T $ 是：
- $ M_{k·T} = M_T^k $
- $ M_{T/k} = \sqrt[k]{M_T} $
矩陣 M 的根可以使用譜分解獲得：
$ M = P·D·P^{-1} \Longrightarrow M^k = P·D^k·P^{-1} $
在哪裡 $ P $ 和 $ D $ 是特徵向量和特徵值矩陣 $ M_T $ .
注意：Perron-Frobenius 告訴轉移矩陣特徵值滿足 |λ|≤1。這允許負和復特徵值。以下 R 程式碼顯示了具有負特徵值的轉移矩陣：
M = matrix(ncol=3, nrow=3, 0) M[1,1]=0.1; M[1,2]=0.8; M[1,3]=0.1 M[2,1]=0.8; M[2,2]=0.1; M[2,3]=0.1 M[3,1]=0.0; M[3,2]=0.0; M[3,3]=1.0 eigen(M)注意：如轉移矩陣的*正則化算法中所述，轉移矩陣的根可能是無效的轉移矩陣，也可能不是唯一的。在這種情況下，我們必須將該矩陣轉換為相關的馬爾可夫矩陣。這個過程稱為正則化*。在引用的文件中，存在一些算法來正則化轉換矩陣。
注意：我懷疑具有單一吸收狀態和嚴格對角佔優的轉移矩陣具有實特徵值和正特徵值，但我沒有證據。
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