使用默頓模型估計違約機率
這裡有
Risk Neutral Default Probability使用公司股票價格的解釋 - https://www.mathworks.com/help/risk/default-probability-using-the-merton-model-for-structural-credit-risk.html。然而，有一個方程表明
$ \sigma_E = \frac{A}{E} N \left(d_1\right) \sigma_A $
這個公式是怎麼推導出來的？
正如您在 Mathworks 頁面上的第三個等式中看到的那樣，默頓模型假設股權的價值等於債權人得到償還後公司資產的剩餘索取權的價值。從經濟學上講，股權是資產價值的看漲期權 $ A $ 行使價等於負債 $ L $ ，其公式為
$$ E=AN(d_1)-Le^{-rT}N(d_2) $$
我們進一步注意到資產過程的變異數是（帶有一點手波主義）
$$ \sigma^2\left(\frac{dA_t}{A_t}\right)\equiv \sigma_a^2dt $$
最後，我們知道看漲期權 $ \frac{\partial E}{\partial A}=N(d_1) $ 這也通俗地稱為Delta。因此
$$ \begin{align} E&=AN(d_1)-Le^{-rT}N(d_2) \ \Rightarrow dE&=N(d_1)dA\ \Rightarrow \frac{dE}{E}&=\frac{1}{E}N(d_1)dA\ \Rightarrow \frac{dE}{E}&=\frac{A}{E}N(d_1)\frac{dA}{A} \end{align} $$
最終
$$ \sigma_E\equiv \sigma\left(\frac{dE}{E}\right)=\frac{A}{E}N(d_1)\sigma\left(\frac{dA}{A}\right)=\frac{A}{E}N(d_1)\sigma_A $$