使用貝氏公式進行 PD 校準
在根據 IFRS 9 計算貸款的預期信用損失時，要求之一是違約機率估計必須是時間點（ $ PD_{PIT} $ ) 而不是整個週期 ( $ PD_{TTC} $ ).設置如下：我們有一個評分模型，有評分 $ X $ 從 1 到 10 不等，其中 10 是最差的。估計的違約機率 $ PD^{TTC}_i $ 對於每個桶如下
| X | PD TTC | |----|--------| | 1 | 0.62% | | 2 | 0.84% | | 3 | 0.93% | | 4 | 1.23% | | 5 | 2.10% | | 6 | 2.79% | | 7 | 3.80% | | 8 | 5.04% | | 9 | 7.01% | | 10 | 31.22% |整體 $ PD_{TTC} $ 整個投資組合為 5.74%。假設我們估計在未來一年我們的 $ PD_{PIT} $ 將是 8%。我們現在要校準每個評級的機率，以反映投資組合整體違約率的增加。有人告訴我，這可以使用貝氏公式的以下變體來完成：
$$ PD^{PIT}i = \frac{(1-PD{TTC})PD_{PIT}PD^{TTC}i}{PD{TTC}(1-PD_{PIT})(1-PD^{TTC}i)+(1-PD{TTC})*PD_{PIT}*PD^{TTC}_i} $$ 在哪裡
$ PD_{TTC} $ ：整體投資組合TTC違約率
$ PD_{PIT} $ : 整體投資組合 PIT 違約率
$ PD^{TTC}_i $ : 評級等級的TTC違約率 $ i $
例如，等級 1 的校準 PD 將是$$ PD^{PIT}_1 = \frac{(1-0.0574)0.080.0062}{0.0574*(1-0.08)(1-0.0062)+(1-0.0574)(0.08)*0.0062} $$ $$ PD^{PIT}_1 = 0.0088 $$
完全校準的評級量表如下
| X | PD TTC | PD PIT | |----|--------|--------| | 1 | 0.62% | 0.88% | | 2 | 0.84% | 1.20% | | 3 | 0.93% | 1.32% | | 4 | 1.23% | 1.75% | | 5 | 2.10% | 2.97% | | 6 | 2.79% | 3.94% | | 7 | 3.80% | 5.34% | | 8 | 5.04% | 7.04% | | 9 | 7.01% | 9.72% | | 10 | 31.22% | 39.33% |有人可以向我解釋貝氏公式的這種特殊應用背後的原因，如果可能的話，請提供一個推導說明為什麼它在這種情況下是有效的？
我的觀點是，這個方程與貝氏定理無關，只是它的形式看起來像是從貝氏定理推導出來的。
如下所示，可以使用奇數的概念推導出方程，該概念用於預設機率模型領域。
注意：我只解決我認為的方程是如何獲得的。等式或方法的優點是有爭議的，但這是另一個話題。
定義：
讓 $ \displaystyle \alpha $ 基於整體投資組合 TTC PD 和 $ \displaystyle \beta $ 是基於整體預測投資組合 PIT PD 的奇數： $$ \begin{equation*} \alpha \ =\ \frac{( 1\ -\ PD_{TTC})}{PD_{TTC}} \end{equation*} $$ $$ \begin{equation*} \beta \ =\ \frac{( 1\ -\ PD_{PIT})}{PD_{PIT}} \end{equation*} $$ 另外，讓評級的TTC PD $ \displaystyle i $ 定義為 $$ \begin{equation*} PD^{i}{TTC} \ =\frac{B{i}}{G_{i} +B_{i}} \ \end{equation*} $$ 在哪裡 $ \displaystyle B_{i} $ 和 $ \displaystyle G_{i} $ raitng 中的壞計數和好計數 $ \displaystyle i $ ， 分別。
校準概念：
校準的概念是調整違約估計的機率，使其平均不會偏離可觀察違約率的長期集中趨勢。
推導：
獲得預測後 $ \displaystyle PD_{PIT} $ 無論如何，可以計算 $ \displaystyle \beta $ . 然而， $ \displaystyle PD_{PIT} $ 和 $ \displaystyle PD_{TTC} $ 必須以某種方式相關。這就是校準的全部意義所在。關係可以指定為 $$ \begin{equation*} \beta \times \alpha ^{-1} \end{equation*} $$ 但請注意，該關係可以寫為
$$ \begin{equation*} \left[\frac{( G_{PIT} /( G_{PIT} +B_{PIT})}{( B_{PIT} /( G_{PIT} +B_{PIT})}\right] \times \left[\frac{( B_{TTC} /( G_{TTC} +B_{TTC})}{( G_{TTC} /( G_{TTC} +B_{TTC})}\right] \end{equation*} $$ $$ \begin{equation*} =\ \left[\frac{G_{PIT}}{B_{PIT}}\right] \times \left[\frac{B_{TTC}}{G_{TTC}}\right] \end{equation*} $$ 在哪裡 $ \displaystyle G_{k} $ 和 $ \displaystyle B_{k} $ 是好計數和壞計數 $ \displaystyle TTC $ 和 $ \displaystyle PIT $ ， 分別。從長遠來看， $ \displaystyle \beta \ \times \alpha ^{-1} $ 預計為 1，因為 $ \displaystyle G_{PIT} $ , $ \displaystyle G_{TTC} , $ $ \displaystyle B_{PIT} $ 和 $ \displaystyle B_{TTC} $ 會互相抵消。
然後通過用 $ \displaystyle \beta \ \times \alpha ^{-1} $ . 選擇好而不是壞的原因是在某些評級中，壞計數可以為零。假設投資組合多元化，所有評級都將具有非零良好計數。
有了上述，校準的 PIT PD 用於評級 $ \displaystyle i $ 是：
$$ \begin{equation*} Calibrated\ PD^{i}{PIT} \ =\frac{B{i}}{\beta \alpha ^{-1} G_{i} +B_{i}} \end{equation*} $$ $$ \begin{equation*} =\ \frac{Bi}{\left(\frac{1-PD_{PIT}}{PD_{PIT}}\right)\left(\frac{PD_{TTC}}{1-PD_{TTC}}\right) G_{i} +B_{i}} \end{equation*} $$
$$ \begin{equation*} =\frac{( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ Bi}{( 1-PD_{PIT}) \ ( PD_{TTC}) \ G_{i} +( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ B_{i}} \end{equation*} $$
$$ \begin{equation*} =\left[\frac{( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ B_{i}}{( 1-PD_{PIT}) \ ( PD_{TTC}) \ G_{i} +( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ B_{i}}\right]\left[\frac{1/( Gi+B_{i})}{1/( Gi+B_{i})}\right] \end{equation*} $$
$$ \begin{equation*} =\left[\frac{( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ PD^{i}{TTC}}{( 1-PD{PIT}) \ ( PD_{TTC}) \ \left( 1-PD^{i}{TTC}\right) +( PD{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ PD^{i}_{TTC}}\right] \end{equation*} $$
結束注：
校準方法是否合理？我的觀點是，我們只能通過用實際數據驗證它來判斷。