馬歇爾對簡單 CES 實用程序的需求
假設偏好是由一個效用函式給出的
$$ u(x_1,x_2) = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho} $$
那麼給定預算約束的馬歇爾需求是多少
$$ p_1x_1 + p_2x_2 \leq I $$
為了回答這個問題，我將首先稍微概括一下處理效用函式的問題
$$ u(x) = \left(\sum_j x_j^\alpha\right)^{1/\alpha} $$
馬歇爾需求可以寫成
$$ x_k^\star(p,I) = \left(\frac{p_k}{\bar p}\right)^{\frac{1}{\alpha - 1}} \frac{I}{\bar p} = \frac{p_k^\frac{1}{\alpha - 1} I}{\sum_j p_j^\frac{\alpha}{\alpha-1}}, $$
和價值函式為
$$ V(p,I) := u(x^\star) = \frac{I}{\bar p} $$
在哪裡 $ \bar p := \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha-1}} \right)^{\frac{\alpha - 1}{\alpha}} $ 是此處得出的價格指數Dixit-Stiglitz 定價指數。
從相對價格等於 MRS 的標準條件開始求元帥需求
$$ \frac{p_j}{p_k} = \frac{\partial u/\partial x_j}{\partial u/\partial x_k} = \frac{x_j^{\alpha - 1}}{x_k^{\alpha - 1}}, $$
為了得到
$$ p_k^{\frac{1}{\alpha - 1}} x_j = p_j^{\frac{1}{\alpha - 1}} x_k, $$
這意味著
$$ p_k^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} x^\alpha_j = p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} x^\alpha_k, $$
並通過總結 $ j $ 這導致等式
$$ p_k^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} \sum_j x^\alpha_j = x^\alpha_k \sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} , $$
這意味著
$$ (A)\ \ \ p_k^{\frac{1}{\alpha - 1}} \left(\sum_j x^\alpha_j \right)^{1/\alpha}= x_k \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}}\right)^{1/\alpha} , $$
在哪裡乘以 $ p_k $ 並總結 $ k $ 結果方程
$$ \sum_k p_k^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} \left(\sum_j x^\alpha_j \right)^{1/\alpha} = I \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}}\right)^{1/\alpha}, $$
我從中分離出的因素包括 $ x_j $ 得到
$$ \left(\sum_j x^\alpha_j \right)^{1/\alpha} = I \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}}\right)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}} = \frac{I}{\bar p}, $$
其中 LHS 是效用函式，等於僅包括收入的表達式 $ I $ 和價格，因此是價值函式 $ V(p,I) = I/\bar p $ . 在（A）中插入這個表達式並隔離 $ x_k $ 給出馬歇爾需求
$$ p_k^{\frac{1}{\alpha - 1}} \frac{I}{\bar p}= x_k \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}}\right)^{1/\alpha} \Leftrightarrow x_k^\star(p,I) = \left(\frac{p_k}{\bar p} \right)^{\frac{1}{\alpha - 1}} \frac{I}{\bar p}. $$