證明 De Finetti 定理
讓我們有一個有限的狀態空間， $ \Omega = {\omega_1,\cdots,\omega_s} $ ， 在哪裡 $ 2 \leq s < \infty $ . 將賭注定義為函式 $ x:\Omega \rightarrow X $ ， 在哪裡 $ X \subseteq \mathbb{R}^s $ 是一組貨幣結果。假設代理人只關心預期收益。讓 $ \succcurlyeq $ 是一個理性的、連續的偏好關係 $ X $ .
加性：
$$ \forall x, y, z \in X, \text{then} \ x \succcurlyeq y \iff x+z \succcurlyeq y+z $$ 單調性
$$ \forall x, y \in X, \text{then} \ x \geq y \iff x \succcurlyeq y $$ 不平凡
$$ \exists x, y \in X, \text{s.t.} \ x \succcurlyeq y $$
菲內蒂定理
$ \succcurlyeq $ 在 $ X $ 是有理的、連續的、可加的、單調的和非平凡的當且僅當
$$ \exists p \in \mathbb{R}^s \setminus {0} = {p \in \mathbb{R}^s \mid \sum^s_{i=1} p_i = 1, \ p_i \in [0,1] \ \forall \ i } $$ 英石 $ \forall x,y \in X $ ， 我們有 $ x \succcurlyeq y \iff p \cdot x \geq p \cdot y $
此外，p 是唯一的。
所以我的教授要求我們證明 De Finetti 定理，她告訴我們：
首先，證明 $ \succcurlyeq $ 是有理的、連續的、可加的、單調的和非平凡的。
$$ ( \exists \ p \quad \text{s.t.} \ \forall x,y \ \text{and} \ x \succ y \Leftrightarrow px \geq py ) $$ 使用 p 的唯一性和矛盾證明：
認為 $ \succcurlyeq $ , 那麼假設 $ x \succcurlyeq y $ 但 $ px < py \ \forall \ p $ . 然後假設 $ px \geq py, \ y $ 但 $ y \succ x \ \forall \ p $ .
二、讓 $ U(\lambda) = px $ ，然後顯示屬性成立。
然後具有獨特性 $ p $ ， 讓 $ s = 2 \rightarrow ( p , 1- p) $
考慮 $ x \sim y $ ，然後假設 $ p $ 不是唯一的 $ \rightarrow $ $ ( p + \epsilon , 1 - p - \epsilon ) $ .
$ \epsilon \in \mathbb{R} $
所以問題是：我如何建構 $ \epsilon $ 是否與模型一致？在應用此證明的大綱時，我們將不勝感激。
這是我的證明嘗試：
首先讓我們看一下“如果”的情況。
認為 $ \succcurlyeq $ 在 $ X $ 是有理的、連續的、可加的、單調的和非平凡的。
但
情況1： $ x \succcurlyeq y $ 和 $ p \cdot x < p \cdot y \ \forall p $
認為 $ p = {\frac{1}{s} \cdots \frac{1}{s}} $
$$ p \cdot x < p \cdot y \implies \frac{1}{s} \sum^s_{i=1} x_i < \frac{1}{s} \sum^s_{i=1} y_i \implies \sum^s_{i=1} x_i < \sum^s_{i=1} y_i $$ 所以 $ x \succcurlyeq y \iff x \geq y $ 通過單調性
$ x \geq y \iff x_i \geq y_i \ \forall i $ 根據定義
但是之後 $ \sum^s_{i=1} x_i \geq \sum^s_{i=1} y_i $ 這是一個矛盾。
案例二： $ p \cdot x \geq p \cdot y $ 和 $ y \succ x \ \forall p $
同樣，選擇相同的 $ p $ .
$$ p \cdot x \geq p \cdot y \implies \sum^s_{i=1} x_i \geq \sum^s_{i=1} y_i $$ $ y \succ x \iff y > x $ 通過單調性
但是之後 $ \sum^s_{i=1} x_i < \sum^s_{i=1} y_i $ 這是一個矛盾。
現在，讓我們看一下“僅當”的情況。
讓 $ u(x) = p \cdot x $ 和 $ \exists \ p $ 英石 $ \forall x,y $ 然後 $ x \succcurlyeq y \iff p \cdot x \geq p \cdot y $
現在我們希望展示我們的五個屬性的持有和唯一性 $ p $ .
以上暗示
$ \exists \ p $ 英石 $ \forall x,y $ ， 然後 $ x \succcurlyeq y \iff U(x) \geq U(y) $
根據定義，我們有效用函式表示。這是從你的課開始的一個基本證明，可能表示表示意味著理性。
我們也可以說如果 $ U(x) $ 是連續的 $ X $ 和 $ U(x) $ 代表 $ \succcurlyeq $ 在 $ X $ ，這意味著偏好是連續的。
$ x \succcurlyeq y \iff p \cdot x \geq p \cdot y \iff p \cdot (x + z) \geq p \cdot (y + z) \iff x + z \succcurlyeq y + z \quad \forall x,y,z \in X $
所以這顯示了可加性。
現在假設單調性不成立。認為 $ x \succcurlyeq y \implies p \cdot x \geq p \cdot y $
但此外， $ x < y $ $ \implies p \cdot x < p \cdot y $ 這是一個矛盾。
假設非平凡不成立。認為 $ x \sim y \ \forall \ x, y $ ， 在哪裡 $ x \neq y $ ， 所以 $ x $ 和 $ y $ 是獨一無二的。但我們現在有單調性。
但 $ x > y \iff x \succ y $ 和 $ y > x \iff y \succ x $
為了獨特性 $ p $ ，建立在你選擇的輪廓之上 $ x, y \in X $ 在哪裡 $ x \sim y $ 對彼此而言 $ p $ 和 $ p’ = (p + \epsilon, 1-p- \epsilon) $
這只能是真的，如果 $ \epsilon = 0 $ 或者如果 $ x $ 和 $ y $ 不是唯一的，也就是說， $ x_i = y_i \ \forall i $ . 我們將排除以下微不足道的情況 $ x $ 和 $ y $ 不是唯一的並且顯示 $ \epsilon = 0 $ （因此 $ p = p’ $ )
$$ px_1 + (1-p)x_2 = py_1 + (1-p)y_2 $$ 和 $$ (p+\epsilon)x_1 + (1-p-\epsilon)x_2 = (p+\epsilon)y_1 + (1-p-\epsilon)y_2 $$ 第二個等式意味著 $$ px_1 + \epsilon x_1 + (1-p)x_2 - \epsilon x_2 = py_1 + \epsilon y_1 + (1-p)y_2 - \epsilon y_2 $$ 從這個方程中減去第一個方程。
$$ \epsilon x_1 - \epsilon x_2 = \epsilon y_1 - \epsilon y_2 $$ $$ \epsilon (x_1 - x_2) = \epsilon (y_1 - y_2) $$ 考慮是否 $ x_1 + \delta = y_1 $ 和 $ x_2 + \delta = y_2 $ 對於任何 $ \delta > 0 $ .
那麼差異 $ x_1 - x_2 $ 和 $ y_1 - y_2 $ 是相等的，但是捆綁 x 在任何狀態下都會有更高的貨幣結果，所以 $ x \succ y $ . 矛盾。
同樣，如果 $ x_1 = y_1 + \delta $ 和 $ x_2 = y_2 + \delta $ ， 然後 $ y \succ x $ ，這又與 $ x \sim y $
因此 $ \epsilon = 0 $ .
$ \square $