弱偏好和負傳遞性
讓 $ \succ $ 是集合上的二元關係 $ X $ 這樣，給定任何 $ x, y, z\in X $ ， 如果 $ x\succ y $ :
- （不對稱）： $ \neg(y\succ x) $ ,
- （負傳遞性）： $ (x\succ z) \vee (z\succ y) $ .
讓我們定義縮寫：
- $ x\succeq y ;:=; \neg(y\succ x) $ ,
- $ x \sim y ;:=; x\succeq y; \wedge ;y \succeq x $ .
像往常一樣，關係 $ \succ, \succeq, \sim $ 表示強偏好、弱偏好和冷漠。
直覺表明我可以得出結論： $$ x\succeq y ; \leftrightarrow ;(x\succ y; \vee ;x\sim y) $$
如果是這樣，我怎樣才能正式推導出它？有什麼有用的參考嗎？
如果您分別執行這兩個步驟，可能會更容易完成（ $ \implies $ 和 $ \impliedby $ )，但這是一個同時進行的證明： $$ \begin{align*} &x\succ y \vee x\sim y\ \iff;& x \succ y \vee (x\succeq y \wedge y \succeq x) & \text{Definition of $\sim$} \ \iff;& (x \succ y \vee x\succeq y) \wedge (x \succ y \vee y \succeq x)& \text{Distributivity}\ \iff;& [x \succ y \vee \neg( y \succ x)] \wedge [x \succ y \vee \neg(x\succ y)]& \text{Definition of $\succeq$}\ \iff;& x \succ y \vee \neg( y \succ x)& \text{LEM}\ \iff;& [x \succ y \vee \neg( y \succ x)] \wedge[x \succ y \to \neg( y \succ x)]& \text{Asymmetry}\ \iff;& [x \succ y \vee \neg( y \succ x)] \wedge[\neg(x \succ y) \vee \neg( y \succ x)]& \text{Definition of $\to$}\ \iff;& [x \succ y \wedge \neg(x \succ y)] \vee \neg( y \succ x)& \text{Distributivity}\ \iff;& \neg( y \succ x)& \text{Contradiction}\ \iff;& x \succeq y& \text{Definition of $\succeq$}\ \end{align*} $$
負及物性似乎不是這個命題的必要條件。