債券
係數中具有指示函式的 Cauchy-Euler ODE
考慮以下 Cauchy-Euler ODE，特別是（可違約的永續息票）債券的資產定價方程：
$$ \frac12 \sigma^2 V^2 F_{vv}(V,t) + \mu V F_{v}(V,t) - r F(V,t) + C = 0 $$
在哪裡 $ k \in \mathbb{R}_+ $ 和$$ r = \begin{cases} r_1 ; \text{ if } ; V > k \ r_2 ; \text{otherwise} \end{cases} $$
如果 $ r $ 為常數，通解的形式為： $$ F(V) = A_0 + A_1 V + A_2 V^{-x} $$在哪裡 $ x \equiv \frac{m + \sqrt{m^2 + 2 r \sigma^2}}{\sigma^2}; ; ; m \equiv \mu - \frac{\sigma^2}{2} $ 並且必須使用邊界條件確定係數。
是否有可能針對以下情況得出類似的一般解決方案 $ r $ 以上？我希望一個人可以分別解決兩個範圍內的 ODE，然後將兩個解決方案與一階導數的條件粘貼在一起。這種方法正確嗎？
我為這個案子解決了 $ \mu = r_1 $ , 中的解決方案 $ \mathbb{C}^1 $ 採取猜測的形式$$ F(V) = \begin{cases} A_0 + A_1 V + A_2 V^{-x} ; \text{ if } ; V>k \ B_0 + B_1 V + B_2 V^{-y} ; \text{ else } \end{cases} $$ 其中常數可以通過將猜測插入 ODE 來找到，其餘的可以通過在不連續處施加邊界條件和平滑粘貼來找到。