涉及債券價格和遠期利率的微分方程
給定遠期利率 f(t,T) 和債券價格 P(t,T) 其中
$ f(t,T) = - \frac{\partial}{\partial T} \ln P(t,T) $ ,
$ P(T,T) = 1 = P(t,t) $ ,
T>0 並且
$ t \in [0,T] $
是否遵循 $ P(t,T) = exp(-\int_{t}^{T} f(t,u) du) $ ?
我的教授提出了一個論點，表明確實如此，但我嘗試的另一種方式表明我們有 $ P(t,T) = \pm exp(-\int_{t}^{T} f(t,u) du) $ . 誰是對的？錯誤的推理有什麼缺陷？
我的教授：
$ f(t,u) = - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) $
$ \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du $
$ \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du $
$ - \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln P(t,T) - \ln P(t,t) $
$ - \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln P(t,T) $
$ e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = P(t,T) $
量子點
礦：
$ f(t,u) = - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) $
$ \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du $
$ - \int_{t}^{T} f(t,u) du = - \int_{t}^{T} - \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du $
$ - \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} \frac{\partial}{\partial u} \ln P(t,u) du $
$ - \int_{t}^{T} f(t,u) du = \int_{t}^{T} \frac{\partial}{\partial u} P(t,u) / P(t,u) du $
讓
$ v = P(t,u) $
$ dv = \frac{\partial}{\partial u} P(t,u) $
$ - \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln |P(t,u)/ P(t,t)| $
$ - \int_{t}^{T} f(t,u) du = \ln |P(t,u)| $
$ e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = |P(t,u)| $
$ \pm e^{- \int_{t}^{T} f(t,u) du} = P(t,u) $
量子點
PS假設我們可以交換積分和導數（如果甚至相關）。
負解不滿足 $ P(T,T)=P(t,t)=1 $