所需收益率如何影響債券價格以及久期如何變化
有人可以回答這兩個理論問題嗎？
- 債券價格如何取決於預期收益率（市場利率）？
- 如果我們有更短/更長的期限以及如果我們有帶息票/不帶息票的債券，久期如何變化
我對第二個問題的回答是，如果我們有更長的期限和附息債券，那麼久期將小於更短期限的附息債券的久期。當我們持有無息債券時，期限越長，久期越長。
那是對的嗎？但我不知道第一個的答案。
誰能幫幫我嗎？
我從一些一般資訊開始，並在下面回答您的問題。我將假設連續複利。
債券價格由下式給出 $$ \begin{align*} P_B=\sum_{i=1}^n c_{t_i} \cdot e^{-y\cdot t_i}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ c_{t_i} $ 表示 $ n $ 在時間點發生的息票支付 $ t_i $ 和 $ y $ 到期收益率。注意最後一次付款 $ c_{t_n} $ 包括最終票息和債券面值。
（Macaulay）持續時間由下式給出 $$ \begin{align*} D &= -\frac{1}{P_B} \frac{\partial P_B}{\partial y} \ &= \frac{1}{P_B} \sum_{i=1}^n t_i\cdot c_{t_i}e^{-y\cdot t_i}. \end{align*} $$ 持續時間可以解釋為時間點的加權平均值 $ t_i $ 當票面支付以單位“年”和“權重”發生時 $ \frac{c_{t_i} e^{-y\cdot t_i}}{P_B} $ . 請注意，這些權重加起來為 1。或者，久期近似於利率變化時債券價格的變化，即 $ \Delta P_B\approx -D P_B \Delta y $ . 使用離散複合，您需要在此處修改持續時間。對於利率的較大變化，您可能需要包括債券的凸性。
作為一個特例，考慮一個零息債券 $ c_{t_i}=0 $ 為了 $ i<n $ 和 $ c_{t_n}=1 $ . 因此， $ P_B=e^{-y t_n} $ 和 $ D=t_n $ . 由於沒有付款，息票支付日期的加權平均值只是債券的到期日：即您必須等待多長時間才能收到現金流。請注意，債券價格可以明確地求解債券收益率，即 $ y=-\frac{1}{t_n}\ln(P_B) $ . 對於到期收益率通常以數字形式找到的息票債券，這通常是不可能的。
現在，讓我們談談你的問題……
- 債券價格 $ P_B $ 產量單調遞減 $ y $ . 越高 $ y $ , 個別付息的現值越低, $ c_{t_i}e^{-y t_i} $ . 因此，我們觀察到債券價格和債券收益率之間存在負/反比關係。
- 零息債券的久期就是債券的到期日。因此，到期時間越短，債券的久期就越短。這是有道理的。很快到期的零息債券對利率變化幾乎不敏感。附息債券的久期甚至低於零息債券，因為您在債券到期之前已經收到了一些現金流（息票支付）。