從數學上理解已實現債券回報的表達式
我看到以下關於已實現 10 年期到期債券一年的回報的聲明：
一年內實現的債券回報 (H) 有兩個組成部分：隨著時間的推移獲得的收益收入和由於收益率變化而產生的資本收益或損失：
$$ H_{10} \approx Y_{10}-\text{Duration}{10} \times \Delta Y{10}. $$
我是一個完整的經濟學新手，我試圖從數學的角度來理解這裡發生了什麼，我將在這裡介紹，但我的計算似乎沒有加起來。
如果我們用 $ C $ , 和債券的時間 $ t=0 $ 到期收益率 $ y_0 $ ，然後債券在時間的價值 $ t=0 $ 等於：
$$ V_0=\frac{C}{1+y_0}+\frac{C}{(1+y_0)^2}+\dots+\frac{C}{(1+y_0)^9}+\frac{F+C}{(1+y_0)^{10}}. $$ 當時 $ t=1 $ ，我們可以將債券的價值表示為時間的函式 $ t=1 $ 到期收益率 $ y $ ，所以我們有
$$ V_1(y)=\frac{C}{1+y}+\frac{C}{(1+y)^2}+\dots+\frac{C}{(1+y)^8}+\frac{F+C}{(1+y)^{9}}. $$ 的導數 $ V_1 $ 關於 $ y $ 等於： $$ \frac{dV_1}{dy}=-1\cdot\frac{C}{(1+y)^2}-2\cdot\frac{C}{(1+y)^3}-\dots-8 \cdot \frac{C}{(1+y)^9}-9 \cdot\frac{F+C}{(1+y)^{10}} . $$ 現在，我們可以在這裡應用一些基本的微積分並聲明 $ \Delta y $ 小“足夠”，我們有 $$ V_1(y_0+\Delta y)\approx V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y. $$ 所以現在，如果我們考慮我們頭寸的絕對回報（當時買這個債券 $ t=0 $ , 賣 $ t=1 $ ） 從現在起 $ t=0 $ 觀點，假設時間 $ t=1 $ 債券的到期收益率為 $ y_1=y_0+\Delta y $ ，我們有： $$ \text{AbsReturn} \approx-V_0+\frac{C}{1+y_0}+\frac{V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{1+y_0}. $$ 那就是 - 我們購買債券 $ V_0 $ ，在第一年年底，我們收到了折扣價為的優惠券 $ \frac{C}{1+y_0} $ ，以及時間的近似值 $ t=1 $ 考慮到 YTM 變化的債券價值為 $ V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y $ 我們也按時間打折 $ t=0 $ . 現在，我們可以簡化 AbsReturn 的表達式，因為 $ -V_0+\frac{C}{1+y_0}+\frac{V_1(y_0)}{1+y_0}=0 $ 我們得到：
$$ \text{AbsReturn}= \frac{\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{1+y_0} , $$ 我想我們也可以用我們的初始投資來劃分 $ V_0 $ 得到回報率，所以我們得到： $$ \text{RateOfReturn}= \frac{\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{V_0(1+y_0)} , $$ aa這就是我完全失去它的地方。我似乎無法理解原始表達和我最終得到的東西之間的聯繫。這個詞是什麼 $ \text{Duration}_{10} $ 在原始公式中甚至代表 - 我猜這是債券價值相對於收益率的推導 - 但債券的價值在什麼時候： $ t=0 $ 或者 $ t=1 $ ? 它甚至有什麼不同嗎？如果是時候 $ t=0 $ ，我們如何使用該函式的線性近似來近似債券的價值變化 $ t=1 $ ? 我對此完全感到困惑。我在這個推導中做錯了什麼嗎？我很欣賞對此的任何見解。謝謝！
給出的近似值在一個關鍵點上是錯誤的——它是債券在 9 年到期時的久期，而不是原始久期。
近似分兩步進行。
- 如果收益率在一年內保持不變，則一年的總回報大致等於起始收益率。
- 如果收益率發生變化，我們會添加一個資本收益/損失，它等於收益率的變化乘以收益率敏感度。這是修改後的債券久期，9 年到期。
這個近似值忽略了任何票面收入的再投資和凸性效應（回報敏感性隨著收益率的變化而略有變化）。此外，債券收益率慣例可能不同於用於總回報的慣例。也就是說，對於 50 個基點以下的收益率變化，近似值通常非常好。