無套利和夏普比率？
我正在閱讀一篇論文，它說在無套利市場中，所有債券的夏普比率都是相同的。我猜兩個債券夏普比率的差異會打開套利的可能性，但這是為什麼呢？
問候
Vasiceck 在他 1977 年的論文中證明了這一點。如果您假設純貼現債券的價格僅取決於馬爾可夫短期利率 $ r(t) $ 帶 SDE $$ \begin{equation} dr(t)=\mu(t,r(t))dt + \sigma(t,r(t))dW(t) \end{equation} $$
那麼你可以假設 $ P(t,T)=F(t,r(t);T) $ . 現在，在推導 Black-Scholes 公式時使用了類似的論據，他製作了一個自籌資金的投資組合，其中包括 $ T $ -債券和一個 $ S $ -紐帶。假設您的投資組合價值具有 SDE： $$ \begin{equation} dV(t)=\theta_T(t)dF(t,r(t);T) + \theta_SdF(t,r(t);S) \end{equation} $$ 在哪裡 $ (\theta_T,\theta_S) $ 是您的自籌資金策略。現在為簡單起見寫 $ F(t,r(t);T)=F^T(t,r(t)) $ 並且因為 $ P(t,T)>0 $ 對所有人 $ t\le T $ 我們可以用伊藤引理這樣寫他的微分： $$ \begin{align} dF^T(t,r(t))&=\alpha^TF^Tdt + \beta^TF^TdW(t) \ dF^S(t,r(t))&=\alpha^SF^Sdt + \beta^SF^SdW(t) \end{align} $$ 通過替換自籌資金組合 SDE，您現在可以搜尋策略 $ (\theta_T,\theta_S) $ 這使得該投資組合風險中性。如果市場不允許套利，那麼無風險資產必須獲得與銀行賬戶相同的收益率： $$ \begin{equation} dV(t)=r(t)V(t)dt \end{equation} $$ 代入後你會發現這等於條件 $$ \begin{equation} \frac{\alpha^S(t) - r(t)}{\beta^S(t)}=\frac{\alpha^T(t) - r(t)}{\beta^T(t)} \end{equation} $$ 這意味著不同期限的債券具有相同的夏普比率。你會在 Bjork 的書中找到更清晰的推導，但這僅適用於短期模型。其實我不知道這個結果是否有更一般的推導。
我猜你的意思是所有預期的夏普比率都是相等的。這就是為什麼。
考慮一個市場 $ d $ 資產 $ (S^1, \dots, S^d) $ 這是免費的套利。讓 $ B $ 表示計價器。根據資產定價基本定理存在鞅測度 $ \Bbb Q $ . 尤其是： $$ \Bbb E_{\Bbb Q} \Bigg[\frac{S_{1}^j - S_0^j} {S_0^j} \Biggr] = \frac{1}{S_0^j}\Bbb E_{\Bbb Q} \bigl[S_{1}^j\bigr] - 1 = \frac{B_1}{S_0^j}\frac{S_0^j}{B_0} - 1 = \frac{B_1 - B_0}{B_0}, \quad \ \text{for all} \ j \in {1,\dots, d}. $$
這是眾所周知的結果，即在沒有套利的情況下，每種資產的預期收益由銀行賬戶的預期收益給出。
特別是所有夏普比率必須相等。