短期利率模型的風險中性度量
眾所周知，所有的仿射期限結構模型都是 HJM 模型的成員。在 HJM 模型下，無論是遠期利率過程還是債券演化過程，都有一個獨特的風險中性度量。因此，模型是完整的。但是，在 Vasicek、CIR 模型等短期利率模型中沒有唯一的風險中性度量（該度量由參數 lambda 調整）。因此，模型是不完整的。
問題是：如何分別證明遠期利率模型 (HJM) 和短期利率模型 (Vasicek) 中是否存在獨特的風險中性度量？有什麼矛盾嗎？
Vasicek 和其他短期利率模型只是“不完整”，直到它們被校準到市場數據。如果利率實際上遵循 Vasicek 過程，那麼從歷史數據估計“現實世界”參數並從收益率曲線計算“風險中性”參數將是微不足道的。在這種情況下，HJM 和 Vasicek 模型只是看待同一件事的兩種方式：沒有矛盾。HJM 是 Vasicek 非常適合的模型“家族”。
當然，很容易看出 Vasicek 模型實際上並不適合經驗收益率曲線。在這種情況下，HJM 模型將不同意 Vasicek 模型，因為 HJM 完全符合初始期限結構。
對於短期利率的任何給定過程 $ {r_t,, t >0} $ ，當時的價格 $ t $ 到期的零息債券 $ T $ ， 在哪裡 $ t\le T $ ， 是（誰）給的
$$ \begin{align*} P(t, T) = E\left(e^{-\int_t^T r_s ds},\big|, \mathcal{F}_t\right). \end{align*} $$ 因此 $ t\le T $ , $$ \begin{align*} \frac{P(t, T)}{e^{\int_0^tr_s ds}} = E\left(e^{-\int_0^T r_s ds},\big|, \mathcal{F}_t\right) \end{align*} $$ 是風險中性測度下的鞅，我們可以假設 $ r_t $ 已在風險中性度量中定義。 對於遠期匯率 $ f(t, T) $ ，我們注意到 $ r_t = f(t, t) $ 和
$$ \begin{align*} P(t, T) = e^{-\int_t^T f(t, u)du}. \tag{1} \end{align*} $$ 我們假設 $ f(t, T) $ 在風險中性測度下，遵循 HJM 模型，即 $$ \begin{align*} df(t, T) = \alpha(t, T) dt + \sigma(t, T) dW_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t, , t \ge 0} $ 是標準布朗運動。從 $ (1) $ , $$ \begin{align*} d\ln P(t, T) &= f(t, t) dt -\int_t^T df(t, u) du\ &=r_t dt - \left(\int_t^T \alpha(t, u) du\right)dt - \left(\int_t^T \sigma(t, u) du\right)dW_t. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} \frac{dP(t, T)}{P(t, T)} &= \frac{1}{P(t, T)}d\left(e^{\ln P(t, T)} \right)\ &=\frac{1}{P(t, T)}\left(e^{\ln P(t, T)} d\ln P(t, T) + \frac{1}{2}e^{\ln P(t, T)} d\langle \ln P, \ln P\rangle_t\right)\ &=\left(r_t - \int_t^T \alpha(t, u) du +\frac{1}{2}\left(\int_t^T \sigma(t, u) du\right)^2 \right)dt - \left(\int_t^T \sigma(t, u) du\right)dW_t. \end{align*} $$ 注意，在風險中性測度下，漂移項 $ dP(t, T) $ 是 $ r_t $ . 那是， $$ \begin{align*} \int_t^T \alpha(t, u) du = \frac{1}{2}\left(\int_t^T \sigma(t, u) du\right)^2. \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} \alpha(t, T) = \sigma(t, T)\int_t^T \sigma(t, u) du. \end{align*} $$