我在推導巴斯擴散模型時做錯了什麼？
我一直在推導 Bass 擴散模型，並不斷發現與 Bass 原始答案不同的結果。更糟糕的是，Google 結果頁面中的每個連結都只是複制了 Bass 原始解決方案，而我正在尋找不同的解決方案。您不必知道模型，只需讓我向您展示數學部分，以便您檢查我的解決方案。
前提：
我們有兩種危險率公式——貝氏條件機率和線性函式：
$$ \begin{equation} \frac{f(t)}{1-F(t)} = p + q F(t) \end{equation} $$
在哪裡 $ f(t) = \frac{dF(t)}{dt} $ . 這給出了以下微分方程：
$$ \begin{equation} \frac{dF(t)}{dt} = (1 - F(t)) (p + qF(t)) \end{equation} $$
我的解決方案
使用鍊式法則，我們將其重寫為：
$$ \begin{equation} \int \frac{dF(t)}{(1-F(t))(p+qF(t))} = \int dt = t \label{eq:diff} \end{equation} $$
請注意：
$$ \begin{equation} \frac{1}{(1-F(t))(p+qF(t))} = \left( \frac{1}{p+q} \right) \left( \frac{q}{p+qF(t)} + \frac{1}{1-F(t)} \right), \end{equation} $$
將其代入上述等式，意味著：
$$ \begin{equation} \int \frac{q}{p+qF(t)} dF(t) - \int \frac{-1}{1-F(t)} dF(t) = (p + q) t \end{equation} $$
整合產量：
$$ \begin{equation} \log (p + qF(t)) - \log (1 - F(t)) = (p + q) t \end{equation} $$
使用日誌屬性：
$$ \begin{equation} \log \left( \frac{p + qF(t)}{1 - F(t)} \right) = (p + q) t \end{equation} $$
或者：
$$ \begin{equation} \frac{p + qF(t)}{1 - F(t)} = e^{(p+q)t} \end{equation} $$
交叉產生分數產生：
$$ \begin{equation} p + qF(t) = e^{(p+q)t} - e^{(p+q)t} F(t) \end{equation} $$
最後：
$$ \begin{equation} (q + e^{(p+q)t}) F(t) = (e^{(p+q)t} - p) \end{equation} $$
或者：
$$ \begin{equation} F(t) = \frac{e^{(p+q)t} - p}{e^{(p+q)t} + q} \end{equation} $$
問題：
但是巴斯，不知何故發現了以下內容：
取消我的答案不會產生巴斯的答案。不必要的 $ q $ 正在毀掉一切。
你能幫我解決這個矛盾嗎？
謝謝你。
您缺少積分常數
$$ \log\left(\frac{p + qF(t)}{1 - F(t)}\right) = (p + q)t + \color{red}{\tilde{C}} $$
這個常數你可以隨意命名，我將它命名為
$$ \color{red}{\tilde{C}} = \color{blue}{C}(p + q) + \ln q $$
在哪裡 $ C $ 只是另一個常數。所以我基本上將一個常量更改為另一個常量（完全允許）。現在問題變成了
$$ \begin{eqnarray} \ln\left(\frac{p + qF(t)}{1 - F(t)}\right) &=& (p + q)t + \color{blue}{C}(p + q) + \ln q = (p + q)(t + C) + \ln q\ p + qF(t) &=& e^{(p + q)(t + C) + \ln q}(1 - F(t)) = qe^{(p + q)(t + C)}(1 - F(t)) \ [q + qe^{(p + q)(t + C)}]F(t)&=& qe^{(p + q)(t + C)} - p \ F(t) &=& \frac{1}{q} \frac{qe^{(p + q)(t + C)} - p}{1 + e^{(p + q)(t + C)}} \end{eqnarray} $$
重新排列一下條款
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue] { F(t) = \frac{1}{q}\frac{q - pe^{-(p + q)(t + C)}}{1 + e^{-(p + q)(t + C)}} } $$