生產者剩餘面積的當量
我真的無法理解矩形的總和如何導致三角形的總和。我的書（第 12 章，第 430 頁）的解釋是：
通過認識到圖 12.11d 中供應曲線中的每個點代表 某些公司的最低平均成本，可以顯示這些區域的等價性。對於每個這樣的公司，P - AC 代表每單位產出的利潤。然後可以通過對所有產出單位求和來計算總長期利潤。
作者沒有解釋粗體部分如何有效，並且從圖中也不明顯。
企業的利潤 $ i $ 是（誰）給的： $$ \pi_i(p) = p q_i - C_i(q_i) $$ 在哪裡 $ p $ 是價格， $ q $ _i 是公司的產出 $ i $ 和 $ C_i(.) $ 是不同公司的成本函式。
一階條件給出： $$ p = \frac{\partial C_i(q_i)}{\partial q_i} = MC_i(q_i^\ast) $$ 這說明瞭如何獲得企業的最優供給 $ i $ , 即在哪裡 $ MC(q_i^\ast) $ 等於 $ p $ （參見問題中的圖 a、b 和 c）。
那麼公司的總利潤為： $$ \begin{align*} \pi_i(p) &= pq_i^\ast - C_i(q_i^\ast),\ &= \left(p - \frac{C_i(q_i^\ast)}{q_i^\ast}\right)q_i^\ast,\ &= \left(MC(q_i^\ast) - AC(q_i^\ast)\right) q_i^\ast. \end{align*} $$ 這對應於問題中圖 a、b 和 c 中的陰影區域：面積等於 $ MC(q_i^\ast) $ 和 $ AC(q_i^\ast) $ 乘以 $ q_i^\ast $ .
現在，考慮一階條件： $$ p = MC_i(q_i^\ast). $$ 我們可以反轉這個函式來獲得廠商的供給曲線 $ i $ : $$ q_i(p) = q \text{ whenever } p = MC_i(q). $$ 按價格計算的市場總供應量 $ p $ 是通過添加所有公司的供給曲線來確定的。 $$ Q(p) = \sum_i q_i(p). $$ 請注意，與經濟學中的往常一樣，問題中的圖 d 繪製了錯誤的供求曲線，正如他們所說的那樣 $ p $ 在垂直軸上和 $ q $ 在水平面上。從數學上講，兩者應該互換。
如果我們能正確地做到這一點，它應該看起來像這樣：
如果 $ p^\ast $ 是均衡價格，則生產者剩餘由下式給出： $$ PS = \int_0^{p^\ast} Q(p) dp = \sum_i \int_0^{p^\ast} q_i(p) dp $$ 現在讓我們改變變數 $ p \to q $ ， 在哪裡 $ p = MC_i(q) $ . 然後 $ dp = \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq $ 所以： $$ \int_0^{p^\ast} q_i(p) dp = \int_0^{q_i^\ast} q \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq. $$ 然後使用分部積分得到： $$ \begin{align*} \int_0^{q_i^\ast} q \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq &= \left[q MC_i(q)\right]^{q_i^\ast}_0 - \int_0^{q_i^\ast} MC_i(q) dq,\ &= q_i^\ast MC_i(q_i^\ast) - C_i(q_i^\ast),\ &= p^\ast q_i^\ast - C_i(q_i^\ast) = \pi_i^\ast. \end{align*} $$ 這裡我們假設 $ C_i(0) = 0 $ 我們用一階條件代替 $ MC_i(q_i^\ast) = p^\ast $ . 我們還用 $ \pi_i^\ast $ 表示企業的利潤 $ i $ 價格 $ p^\ast $ . 由此： $$ CS = \sum_i \int_0^{p^\ast} q_i(p) dp = \sum_i \pi_i^\ast, $$ 這表明消費者剩餘確實等於該行業所有利潤的總和。
