不叫的狗？
我一直在閱讀 Cochrane 2006 年的論文“不叫的狗：回歸可預測性的辯護”，但我仍在努力理解狗是什麼，為什麼它不叫？
如果有人可以擺脫一些簡短的直覺，將不勝感激。也許我對現有文獻的了解，以辨識“狗”是缺乏的。
我不確定你問的問題有多深。沒有吠叫的狗來自福爾摩斯謀殺之謎。房子裡的狗沒有對入侵者吠叫，所以福爾摩斯認為狗認識入侵者。因此，缺乏像吠叫這樣的證據本身就是證據。在 Cochrane 論文中，引言提到，缺乏回報可預測性的證據本身就是證據。在這種情況下，證明股息增長是可預測的。顯然，作者只是想提出一個文學轉折來使他的論文更有趣，所以我不會很認真地對待它。我不能為 Cochrane 對這些證據的實際使用辯護，因為雖然我只是略讀了一下，但我發現這篇論文並不是很有說服力。
正如上面所指出的，這句話取自福爾摩的小說。它描述了狗應該吠叫但沒有吠叫的情況。現在，如果我們來看 Cochrane 論文。他介紹了方程組（ $ r_{t+1} $ - 返回， $ \Delta d_{t+1} $ - 股息增長和 $ d_t - p_t $ - 股息價格比率）： $$ r_{t+1} = a_r + \beta_r(d_t - p_t) + \epsilon^r_{t+1}, \ \Delta d_{t+1} = a_d + \beta_d(d_t - p_t) + \epsilon^d_{t+1}, \ d_{t+1} - p_{t+1} = a_{dp} + \phi(d_t - p_t) + \epsilon^{dp}_{t+1}. $$
他認為，如果你只是測試 $ H_0: \beta_r = 0 $ ，基本上它測試回報的可預測性，你不會發現意義。但是，如果您聯合測試 $ H_0: \beta_r = 0\land \beta_d = \rho\phi - 1 $ （我稍後會解釋它的來源）。這個新的 null 給了你更多的“權力”來拒絕 null（儘管 Cochrane 對權力的定義是錯誤的，因為 $ power = \mathbb{P}[ \text{reject H}_0 | \text{H}_A] $ ，但現在它並不那麼重要）。為了構造這個空值，他使用 Campbell-Shiller 1988 對數線性化來獲得回報：
$$ r_{t+1} \approx \kappa + \rho(p_{t+1} - d_{t+1}) + \Delta d_{t+1} - (p_t - d_t), $$ 在哪裡 $ \kappa $ - 常數和 $ \rho $ - 對數線性化點。從這個方程和以前的系統，我們可以形成以下恆等式：
$$ \beta_r = 1 + \beta_d - \rho\phi, \ a_r = \kappa + a_d - \rho a_{dp}, \ \epsilon^r_{t+1} = \epsilon^d_{t+1} - \rho\epsilon^{dp}_{t+1}. $$
現在是最重要的部分。為了擁有 $ \beta_r = 0 $ 我們必須有 $ \beta_d = \rho\phi - 1 \approx -0.1 $ , 但這得到數據的支持要少得多，我們解決了數據中沒有這個係數的問題。和這裡 $ \hat{\beta}_d = 0 $ （在數據中估計）代表沒有吠叫的狗！