Cobb-Douglas 的二元關係
我正在審查舊的期中考試，為即將到來的期中考試做準備，並遇到了這個問題：
讓 $ \alpha , \beta \in (0,1) $ . 現在，讓 $ f_{\alpha} $ 和 $ f_{\beta} $ 在 $ \mathbb{R^2} $ 定義為 $ f_{\alpha}(x)=x_1^{\alpha} x_2^{1 - \alpha} $ 和 $ f_{\beta}(x)=x_1^{\beta} x_2^{1 - \beta} $
現在，讓 R 是一個二元關係 $ \mathbb{R_x^2} $ . 讓 $ {x,y} \subset R_+^2 $ 我們有：
$$ xRy \leftrightarrow f_{\alpha}(x) \geq f_{\alpha}(y) \land f_{\beta}(x) \geq f_{\beta}(y) $$ 對於哪些組合 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 這種二元關係是否完備，哪些組合是傳遞的，哪些組合是連續的。
我的想法
- 看來這只能是完整的，如果 $ \alpha=\beta $ 但是每當我繼續 WLOG 時，我都無法完成證明 $ \alpha < \beta $ 這裡的任何人都可以嘗試正式證明這是完整的 iff $ \alpha = \beta $ ?
- 我認為只要我們有 xRy、yRz，我們就一定會有 xRz。那是。所以，我認為這對於所有的組合都是傳遞的 $ \alpha,\beta $ . 我的證明涉及使用實數的良序和為這個特定關係給出的定義。如果有人認為這對所有人都不是真的 $ \alpha,\beta $ 請讓我知道為什麼/如何。
- 我知道什麼是連續性以及如何證明它。但是，我不確定哪些組合 $ \alpha,\beta $ 這種關係是連續的。我懷疑它的所有組合都是連續的 $ \alpha,\beta $ . 這是真的？如果有，你能證明嗎？
我將使用以下二元關係的連續性定義。
**定義1：**二元關係 $ \mathcal{R} $ 在 $ \mathbb{R}^2_+ $ 是連續的，如果對於每個 $ x $ ，以下集合是閉合的。
$$ USC_x = {y\in \mathbb{R}^2_+|y\mathcal{R}x} $$ $$ LSC_x = {y\in \mathbb{R}^2_+|x\mathcal{R}y} $$ **定義 2：**一個集合 $ Z $ 關閉，如果 $ z_n $ 是一個序列 $ Z $ 和 $ z_n\rightarrow z $ ， 然後 $ z\in Z $ .
現在，讓 $ \mathcal{R} $ 被定義為你的問題，即
$$ x\mathcal{R} y\iff f_\alpha(x) \geq f_\alpha(y)\text{ and }f_\beta(x) \geq f_\beta(y) $$ 讓 $ x\in \mathbb{R}^2_+ $ . 讓 $ x_n $ 成為一個序列 $ USC_x $ 收斂到 $ x^\ast $ . 然後，對於每個 $ n $ , $$ f_\alpha(x_n) \geq f_\alpha(x)\text{ and }f_\beta(x_n) \geq f_\beta(x). $$ 自從 $ f_\alpha $ 和 $ f_\beta $ 是連續的，我們有 $$ f_\alpha(x^\ast) \geq f_\alpha(x)\text{ and }f_\beta(x^\ast) \geq f_\beta(x). $$ 暗示著 $ x^\ast\in USC_x $ ; 因此， $ USC_x $ 已經關閉。我們還可以證明 $ LCS_x $ 通過使用相同的參數來關閉。這得出結論 $ \mathcal{R} $ 是連續的。 **備註 1：**上述論點提供了分析有關陳述的一般策略 $ \mathcal{R} $ . 的傳遞性 $ \mathcal{R} $ 可以通過幾個簡單的步驟來證明。您關於此屬性的陳述有點含糊，恕我直言，應該更加嚴格。
**備註 2：**您對完整性的解釋也需要一個清晰的書面論證。雖然這是真的 $ \alpha=\beta $ 意味著完整性 $ \mathcal{R} $ ，使它成為真的推理並不完全是你所提議的。還需要證明 $ \alpha\neq \beta $ 暗示 $ \mathcal{R} $ 不會是完整的（我相信應該是這樣）。這需要您做更多的工作。如果您在這方面遇到麻煩，請告訴我。
**底線：**在我真誠的拙見中，你應該在證明事情上多做練習。也許拿一本介紹抽像數學之類的書。
一些想法：
為了完整起見，我認為您可以為任何 $ x_1 \geq y_1, x_2 \geq y_2 $ , 這滿足完整性 $ \forall \alpha, \beta $ .
$$ x_1^\alpha x_2^{1-\alpha} \geq y_1^\alpha y_2^{1-\alpha} $$ $$ x_1^\beta x_2^{1-\beta} \geq y_1^\beta y_2^{1-\beta} $$ 為了連續性，您可以使用兩種定義，一種使用序列，另一種使用二元關係中某個點周圍的 epsilon-balls。