嚴格二元關係的完備性

考慮到偏好關係，我如何證明 $ \succsim $ ， 然後 $ \succ $ 不完整？

我嘗試了以下（我不知道它是否正確）但我也想知道是否可以概括並說 $ \succ $ 永遠不會完整。

認為 $ X = {a,b} $ 有偏好關係 $ { a \succsim a, a \succsim b, b \succsim b} $ . 然後我們 $ \succ $ 不可能是完整的關係 $ X $ 因為既不 $ b \succsim a $ 也不 $ b \not{\succsim} a $ 在 $ X $ 因此不可能得出這樣的結論 $ a \succ b $ 或者 $ b \succ a $ 是真的。

你的反例看起來是正確的。

但一個更簡單的例子是 $ X={a} $ . 我們有 $ a \succsim a $ ， 所以 $ a \not \succ a $ .

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更一般地，我們通常定義

1. $ \succsim $ 是反身的（即 $ a \succsim a $ 對全部 $ a $ ); 和
2. $ \succ $ 經過 $ a \succ b $ 如果 $ a \succsim b $ 和 $ b \not \succsim a $ .

根據上述定義， $ \succ $ 不能在任何非空集上完成 $ X $ 因為對於任何 $ a\in X $ ， 我們有 $ a \not \succ a $ .

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/36617