SARP 是否意味著 WARP？和 GARP 意味著 SARP？
很明顯，WARP 並不意味著 SARP，因為 WARP 不排除循環選擇，而 SARP 可以。
術語“強”公理表明它包含“弱”公理。但這從定義上對我來說並不明顯。
滿足 SARP 的選擇結構是否也滿足 WARP？
同樣，顯示偏好（GARP）的“廣義”公理似乎包含 SARP，但同樣，我無法從定義中看到這一點。
經：如果 $ x,y\in B $ ， 和 $ x\in C(B) $ ，那麼我們找不到 $ B_2 $ 這樣 $ x,y\in B_2 $ 和 $ y\in C(B_2) $ 但不是 $ x\in C(B_2) $ .
SARP：假設所有人 $ B $ 選擇 $ c(B) $ 只是一個元素。如果 $ x_i,x_{i+1}\in B_i $ ， 和 $ x_i = c(B_i) $ ， 對全部 $ i\in {1,N-1} $ ， 然後 $ x_1=c(B_1)\notin B_N $ .
GARP：如果 $ p_i\cdot x_{i+1}\leq p_i\cdot x_i $ 為了 $ i\in {1, N-1} $ 和 $ p_N\cdot x_{1}\leq p_N\cdot x_N $ ，那麼這些不等式一定是等式。
（GARP 特別假設 $ p $ 是價格向量和 $ x $ 是消費束，而其他兩個公理適用於任何類型的選擇結構。）
是的，SARP 意味著 WARP。由於在 SARP 下所有選項都是單例，因此我們濫用符號並編寫 $ C $ 作為一個將替代項作為值的函式。我們證明了相反的情況，在選擇唯一的環境中，每一次違反 WARP 都會導致違反 SARP。所以假設有集合 $ B $ , $ B’ $ 包含 $ x $ 和 $ y $ 這樣 $ c(B)=x $ 和 $ C(B’)=y $ . 讓 $ B_1=B $ 和 $ B_2=B’ $ ，您直接違反了 SARP（我認為您需要 $ x_i\neq x_{i+1} $ 在 SARP 的定義中）。
在預算集的背景下，SARP 意味著 GARP。讓 $ B_i={x\mid p_ix\leq p_ix_i} $ . 然後 SARP 說如果 $ p_i x_{i+1}\leq p_i x_i $ 但 $ x_i $ 是唯一的選擇 $ B_i $ 為了 $ i\in{1,\ldots,N_1} $ ， 然後 $ p_N x_i>p_N x_N $ . 所以這個案子 $ p_N x_i\leq p_N x_N $ 永遠不會發生；不能違反 GARP。
現在，通常制定的 GARP 是由價格選擇組合組成的數據集的條件。不要求相同的價格體系導致相同的選擇，因此 GARP 並不意味著 SARP。