對彩票的兩種偏好是否相同的有效顯示偏好檢查？
我想找到可以知道兩個效用函式是彼此線性變換的條件。
考慮一組（可能是有限的）任意結果 $ X $ （不一定解釋為商品），以及特定的效用函式 $ u^*:X\to \mathbb R $ . *我們想知道一個代理的效用函式是否是一個線性變換 $ u^ $ 或不。*考慮一組彩票 $ \mathcal L $ 在 $ X $ . 現在假設我們在子集之間給代理選擇 $ C\subseteq \mathcal L $ . 我想要的是：我們需要給代理什麼選擇才能知道他的效用函式是某個效用函式的線性變換 $ u^ $ ? 注意：我們不需要檢查agent是否有理性偏好。我們從一開始就假設他有一個 vnM 實用程序功能。
這只是顯示偏好，但我不記得具體閱讀過任何有關此的內容。
也許我在這個基礎上還差得很遠，但考慮到問題中提出的相對嚴格的要求，我很想說我們永遠無法真正確定某個人的效用函式 $ u_i $ 絕對是某個其他函式的線性變換 $ u^{} $ 事先考慮。同時根據具體情況 $ u_i $ , $ u^{} $ 和最初的問題，有可能將兩者視為不滿足轉換要求，但我認為無法真正證實這一點。
這種想法的根本原因是在結果中包含 vNM 實用程序和彩票。由於前一個假設對我們的效用框架強加了基數，所以總是有可能存在差異 $ u_i $ 和 $ u^{} $ . 即使只考慮一種商品（例如金錢），某些人遵循效用函式做出的任何觀察到的選擇序列 $ u_i $ 可能僅與個人關注的方式不同 $ u^{} $ 表現在“間隙”中。無論機率和金額有多好，我們總能想出一些替代方案 $ u’ $ 它複製了直到那時的決策。（我們總是可以考慮，例如，一些 $ u^{’} $ 這是在某個間隔上分段的 $ u^{*} $ 是光滑的。
當然，隨著我們從重複選擇的觀察數據中觀察越來越小的間隔的能力增加，之間可能的偏差 $ u^{} $ 和一些替代品 $ u’ $ 趨向於零。但再次發現，迄今為止的所有觀察結果都表明了個人的效用 $ u_i $ 是一個線性變換 $ u^{} $ 不保證它們之間沒有不同的函式間隔。
還應該指出的是，這實際上只考慮了極端情況——出於所有實驗目的，我們只需要一個近似個人效用函式的函式。但我確實認為要真正證明一個是特定的線性變換更難 $ u^{*} $ 心裡。
首先，我們可以通過以下方式重新表述您的問題：
給定一個線性 $ u^: \mathcal L \to \mathbb R $ 和預期的效用偏好 $ \succsim $ , 什麼是最小子集 $ \succsim $ 需要確保它由 $ u^ $ . $ ^1 $
你可以在 $ |X| - 1 $ 觀察，只要每個維度 $ \mathcal L $ 在觀察中“表示”。讓我們探討如何做到這一點，並希望在此過程中，使我的主張連貫一致。
暫時假設 $ X $ 是有限的。讓 $ b,w $ 成為最好和最差的元素 $ X $ 根據 $ u^* $ ; wlog 假設 $ u^(b) = 1 $ 和 $ u^(w) = 0 $ . 當然應該是這樣 $ b \succsim w $ ，或者我們有一個假設的反例 $ \succsim $ 表示為 $ u^* $ . 現在對於其他元素 $ x \in X $ 我們只需要知道是否 $$ u^(x)b + (1-u^(x))w \sim x $$
如果這是真的，那麼根據 EU 的屬性，任何表示（也在 $ b,w $ ) 必須設置 $ u(x) $ 成為 $ u^(x)u(b) + (1-u^(x))u(w) = u^(x)1 + (1-u^(x))0 = u^*(x) $ .
現在，如果 $ X $ 是無限的，可能沒有最好和最差的元素，你將不得不處理元素的情況 $ x $ 高於或低於標準化的界限。這個問題也出現在混合空間定理的證明中，並以相同的方式處理——取具有極端元素的混合，並據此計算權重。
很容易表明，任何比上述數據少的數據都會留下可以利用的自由度。換句話說，您必須檢查每個維度，但只需一次觀察就足夠了。
對於它的價值，這是一個更普遍的結果的特定情況：線性函式完全由它在基向量上的行為決定！ $ X $ 是你的基礎 $ \mathcal L $ .
$$ 1 $$我可能把你的問題弄錯了。也許你的意思是 $ u^* $ 結束了 $ X $ 不是 $ \mathcal L $ 並且您無權訪問基本屬性 $ u^* $ . 如果是這樣的話，答案仍然成立，但這個問題似乎毫無意義。