效用函式的偏好關係和單調變換
給定一個選擇集 $ X $ （不假定是商品集……），以及效用函式 $ u,u’ $ 在 $ X $ ，很明顯，如果 $ u’ $ 是一個嚴格的單調變換 $ u $ 然後他們在 $ X $ .
我的問題是，在什麼條件下相反？我們能想到的最不嚴格的條件是什麼，這意味著如果 $ u,u’ $ 誘導相同的偏好關係 $ X $ ， 那 $ u’ $ 那麼必然是一個嚴格遞增的變換 $ u $ ?
根據人們閱讀問題的方式，相反的情況要麼總是成立，要麼基本上從不成立。讓 $ u:X\to\mathbb{R} $ 和 $ v:X\to\mathbb{R} $ 是具有範圍的任意函式 $ u(X) $ 和 $ v(X) $ ， 分別。不難證明 $ u $ 和 $ v $ 當且僅當存在嚴格遞增函式時，表示相同的偏好 $ h:v(X)\to\mathbb{R} $ 這樣 $ u=h\circ v $ . 所以這是“總是”的答案。
現在可能需要 $ h $ 被定義並嚴格增加所有 $ \mathbb{R} $ . 在那種情況下，基本上永遠無法保證存在這樣一個 $ h $ ，至少對於標準的經濟應用。讓 $ X=[0,1] $ , $ u $ 由 $ u(x)=x $ 和 $ v $ 由 $ v(x)=x $ 為了 $ x\leq 1/2 $ 和 $ v(x)=x+1 $ 為了 $ x>1/2 $ . 然後 $ v(X)=[0, 1/2]\cup (3/2,2] $ . 如果 $ h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ 是一個非減函式，使得 $ u=h\circ v $ ， 全部 $ r\in(1/2,3/2] $ 必須映射到同一點 $ h $ ， 所以 $ h $ 不能嚴格增加。
每當出現這樣的問題 $ X $ 是一個連通的拓撲空間（比如，一些的凸子集 $ \mathbb{R}^n $ ) 並且存在一些不恒定的連續效用表示。
如果兩者都可能出現問題 $ v $ 和 $ u $ 是連續的。讓 $ X=\mathbb{R} $ , $ u $ 由 $ u(x)=x $ 和 $ v $ 由 $ v(x)=e^x $ . 然後 $ v(X)=\mathbb{R}_{++} $ ，嚴格正數的集合。假設有一些嚴格遞增的函式 $ h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ 這樣 $ u=h\circ v $ . 然後 $ h $ 將是對數函式對所有的嚴格遞增的擴展 $ \mathbb{R} $ ，這是不可能的。
最後，一些積極的結果：如果 $ X $ 是一個連通的拓撲空間，並且 $ u:X\to\mathbb{R} $ 和 $ v:X\to\mathbb{R} $ 是表示相同偏好的連續函式，並且要麼在上有界，要麼在上無界，要麼在下有界，要麼在下無界，則存在嚴格遞增的連續函式 $ h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ 這樣 $ u=h\circ v $ .