強單調性和弱單調性
我們說 $ \succsim $ 表示弱單調偏好，如果$$ x,y \in X, ,, y >> x \implies y \succ x $$
在哪裡 $ y >> x $ 意味著每個元素 $ y $ 大於每個元素 $ x $ .
我們說 $ \succsim $ 表示強烈的單調偏好，如果$$ x,y \in X, ,, y \geq x, y \neq x \implies y \succ x $$
在哪裡 $ y \geq x $ 意味著至少一個元素 $ y $ 大於一個元素 $ x $ 所有其他人都是平等的。
我的問題是：強單調偏好是否意味著弱單調偏好？
我的回答：是的。推理如下：
自從集 $ A = { x,y \in X: y >> x } $ 是的一個子集 $ B = {x,y \in X: y \geq x, y \neq x } $ , 那麼如果 $ B \implies y \succ x $ 它也必須是真的 $ A \implies y \succ x $ 因此，強單調偏好意味著弱單調偏好。
用簡單的英語來說，如果首選包含更多一種商品且所有其他商品相同的捆綁包，那麼包含更多每種商品的捆綁包也必須是首選。
我的推理正確嗎？
謝謝！
讓 $ x,y\in X $ . 認為 $ y \gg x $ （所以特別是， $ y\geq x $ 和 $ y\neq x $ ）。根據假設， $ \succsim $ 滿足強單調性；所以， $ y\succ x $ .
（我們剛剛展示了對於任何 $ x,y\in X $ 這樣 $ y \gg x $ ， 我們有 $ y\succ x $ . 因此， $ \succsim $ 滿足弱單調性。）
你上面給出的論點是正確的，與我剛剛給出的證明大致相同。唯一的問題是你的論點有些間接、複雜和不清楚。