Beta 約束 Markowitz 最小變異數投資組合 - 封閉式解決方案
這個問題與最近Quantopian Open的規則變化有關。
我試圖找出一個封閉形式的解決方案來解決 beta 約束的最小變異數投資組合問題，但它似乎並不是特別容易處理。有沒有其他人試過這個？到目前為止，我已經設置了問題
$$ \begin{align} \min_w \quad& w^\prime \Sigma w \ s.t. \quad& w^\prime\vec 1 = 1 \ \text{and} \quad & w^\prime \beta = c \end{align} $$ 在哪裡
- $ w $ 是投資組合權重的向量，我們的控制
- $ \Sigma $ 是總共變異數矩陣
- $ \beta $ 是 CAPM 類型市場貝塔的向量
- $ c $ 投資組合貝塔應該等於的常數
將約束更改為拉格朗日乘數，目標變為
$$ \min_w \quad w^\prime\Sigma w - \lambda_1(w^\prime\vec 1 - 1) - \lambda_2(w^\prime\beta - c) $$ 一階條件是
$$ \begin{align} 0 &= 2w^\prime\Sigma - \lambda_1\vec 1 - \lambda_2 \beta\ 1 &= w^\prime\vec 1\ c &= w^\prime\beta \end{align} $$ 我似乎無法讓方程很好地解決，也許不存在封閉形式的解決方案，但我想在這裡檢查一下，看看是否有人能在我進行數值優化之前得到一些合理的東西。
假如說 $ \Sigma $ 是可逆的，那麼
$$ \begin{align} 2\omega’ = \lambda_1\overrightarrow{1}’\Sigma^{-1}+\lambda_2\beta’\Sigma^{-1}. \end{align} $$ 然後我們可以解決 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 從方程組 $$ \begin{align*} 2 &= \lambda_1\overrightarrow{1}’\Sigma^{-1}\overrightarrow{1}+\lambda_2\beta’\Sigma^{-1}\overrightarrow{1}\ 2c &= \lambda_1\overrightarrow{1}’\Sigma^{-1}\beta+\lambda_2\beta’\Sigma^{-1}\beta. \end{align*} $$ 最後， $ \omega $ 可以從上面的方程得到。